75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций.

1° Если

то, каковы бы ни были два вещественных числа х и у, всегда имеет место равенство

выражающее общеизвестное правило умножения степеней:

Оказывается, что функциональным свойством (Б), вместе со свойством непрерывности, показательная функция определяется вполне. Точнее говоря: единственной функцией, определенной и непрерывной во всем промежутке и удовлетворяющей в нем условию (Б), является показательная функция (если не считать функции, тождественно равной 0).

Иными словами, формула за указанным исключением - дает самое общее решение функционального уравнения (Б) в непрерывных функциях.

Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию определенную и непрерывную при всех х и удовлетворяющую условию (Б). Исключается тривиальный случай, когда

Итак, при некотором значении эта функция отлична от 0. Полагая в получим

отсюда ясно, что отлична от 0 при всяком х. Больше того, заменяя в (Б) х и у через найдем:

так что всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (Б), например, по натуральному основанию

Если положить

то в лице мы будем иметь функцию, непрерывную (как результат суперпозиции непрерывных функций, 73) и удовлетворяющую условию:

аналогичному (А). В таком случае, как мы установили, необходимо

откуда, наконец,

(если положить

то при любых положительных значениях х и у будет

Это есть запись правила логарифмирования произведения:

И здесь - это равенство, совместно с непрерывностью, вполне характеризует именно логарифмическую функцию:

единственной функцией, определенной и непрерывной в промежутке и удовлетворяющей в нем условию (В), является логарифмическая функция (за тем же исключением), так что формула (в) дает самое общее решение функционального уравнения (В), в непрерывных функциях.

Для доказательства возьмем произвольную функцию непрерывную для и удовлетворяющую этому уравнению. Введем новую переменную изменяющуюся в промежутке и положим

откуда

Непрерывная (в силу 73) функция удовлетворяет условию [см. (В)]

типа (А). Значит,

Если исключить случай (тогда то полученный результат может быть написан и в виде

где . Этим все доказано.

3° Наконец, обратимся к функции

которая, очевидно, удовлетворяет функциональному уравнению

(при любых положительных ибо

Уравнение это, в соединении с непрерывностью, в данном случае также характеризует степенную функцию в том смысле, что единственной функцией, определенной и непрерывной в промежутке и удовлетворяющей в нем условию (Г), является степенная функция (за обычным исключением).

В самом деле, если дана непрерывная для функция удовлетворяющая условию (Г), то прибегнем к той же подстановке, что и в 2°. Тогда функция будет удовлетворять условию [см. (Г)]

типа (Б). Мы уже знаем, что тогда (если исключить тривиальный случай)

Отсюда

(если положить , что и требовалось доказать.