81. Применение к решению уравнений.

Доказанная теорема имеет применение при решении уравнений.

Прежде всего, с ее помощью устанавливается существование корней. Например, для всех очевиден корень уравнения

но труднее заметить существование еще одного корня. А между тем, функция при принимает значение а при - значение , следовательно (так как она непрерывна), обращается в 0 в некоторой точке между

Другой пример: рассмотрим, вообще, алгебраическое уравнение нечетной степени (с вещественными коэффициентами)

При достаточно больших по абсолютной величине значениях х многочлен имеет знак старшего члена, т. е. при положительном х - знак а при отрицательном х - обратный знак. Так как многочлен есть непрерывная функция, то, меняя знак, он в промежуточной точке необходимо обращается в 0. Отсюда: всякое алгебраическое уравнение нечетной степени (с вещественными коэффициентами) имеет по крайней мере один вещественный корень.

Теоремой Коши можно пользоваться не только для установления существования корня, но и для приближенного его вычисления. Поясним это примером. Пусть Так как то многочлен имеет

корень между 1 и 2. Разделим этот промежуток [1, 2] на 10 равных частей точками и станем последовательно вычислять:

Видим, что корень содержится между 1,2 и 1,3. Разделив и этот промежуток на 10 частей, найдем:

Теперь ясно, что корень лежит между 1,22 и 1,23; таким образом, мы уже знаем значение корня с точностью до 0,01 и т. д.

В свете этих замечаний интересно сопоставить изложенные выше два доказательства одной и той же теоремы. Второе из них является только «доказательством существования» корня уравнения ничего не говоря о том, как корень найти. Первое же намечает определенный путь к реальному вычислению корня: путем последовательного деления промежутка пополам (чем мы для простоты ограничились) можно в действительности заключить искомый корень в промежуток произвольно малой длины, т. с. вычислить этот корень с произвольной степенью точности.