19. Степень с любым вещественным показателем.

Обратимся к определению степени любого вещественного (положительного) числа а с любым вещественным показателем .

Введем в рассмотрение степени числа а

с рациональными показателями , удовлетворяющими неравенствам

Степенью числа с показателем называют (и обозначают символом ) вещественное число , содержащееся между степенями

Легко убедиться в том, что такое число всегда существует. Действительно, множество степеней ограничено сверху, например, любой степенью Возьмем тогда [11]

Для этого числа будем иметь

На деле же знак равенства здесь не нужен, ввиду возможности увеличить и уменьшить так что построенное число у удовлетворяет условиям (1).

Обратимся теперь к доказательству единственности числа, определяемого этими условиями.

Для этого, прежде всего, заметим, что лемма 2 [8] сохраняет свою силу и в том случае, если опустить требование, чтобы числа

были непременно рациональными; доказательство остается то же.

Затем, установим одно весьма простое, но часто полезное неравенство, которое иногда связывают с именем Як. Бернулли (Jac. Bernoulli): если - натуральное число, большее единицы, и , то

Действительно, положив где по формуле бинома Ньютона будем иметь

так как ненаписанные члены положительны, то

что равносильно неравенству (2).

Положив здесь получим неравенство

которым мы сейчас и воспользуемся.

Мы знаем, что числа можно выбрать так, чтобы разность была меньше - при любом наперед заданном натуральном тогда, по неравенству (3),

Так как меньше любого (но фиксированного) то достаточно взять

где - произвольно малое положительное число, чтобы было

В таком случае, по обобщенной выше лемме 2, между границами не может содержаться двух различных чисел у.

Если рационально, то данное выше определение возвращает нас к обычному пониманию символа

Легко проверить, что для степени с любым вещественным показателем выполняются все обычные для степени правила. Остановимся для примера на доказательстве правила сложения показателей при умножении:

Пусть - любые рациональные числа, для которых

по определению суммы [12]

а по определению степени

Перемножив почленно первые два двойные неравенства (с учетом того, что для рациональных показателей доказываемое правило уже известно), получим

Таким образом, два числа оказываются заключенными между границами которые, как легко показать, могут быть сделаны сколь угодно близкими. Отсюда (по обобщенной лемме 2) и вытекает равенство этих чисел.

Проверим еще, что при степень возрастает с возрастанием вещественного показателя Если то, вставив рациональное число между ними: по самому определению степени с вещественным показателем будем иметь