70. Примеры разрывных функций.

1) Рассмотрим функцию (график ее представлен на рис. 8). Если - не целое число и то и для всех значений в промежутке будет так что непрерывность функции в точке непосредственно ясна.

Иначе обстоит дело, если равно целому числу т. Справа в этой точке будет иметь место непрерывность, ибо правее именно для значений будет так что и Наоборот, левее для значений от), очевидно, отсюда, и что не равно значению и слева в точке функция имеет обыкновенный разрыв или скачок!

2) Возьмем функцию, рассмотренную в 46:

(ее график дан на ряс. 28.) Она имеет обыкновенные разрывы в точках и справа, и слева, ибо:

3) Для функции

точка есть точка разрыва второго рода - с обеих сторон; именно, в ней функция и справа и слева обращается в

4) Функция

рассмотренная в 54, 9), в точке имеет разрыв второго рода с обеих сторон, так как не существует вовсе предела этой функции при стремлении х к 0 ни справа, ни слева.

Рис. 28.

5) Наоборот, если взять функцию [54, 10)]

для которой, как мы видели, существует предел

то, положив - согласно замечанию п° 66 - мы восстановим непрерывность и при

6) Определим две функции равенствами:

для и сверх того положим

Для первой из них имеем:

так что в точке справа - разрыв второго рода, а слева - непрерывность. Для второй же -

и в точке с обеих сторон скачки. Графики этих функций даны на рис. 29 и 30.

Рис. 29.

Рис. 30.

7) Вспомним еще о функции Дирихле [46]:

если х рационально.

если х иррационально.

Так как в любой близости от рациональной точки найдутся точки иррациональные, и наоборот, то каково бы ни было в промежутке предела при не существует, так что в каждой точке налицо разрыв второго рода (с обеих сторон).

8) Определим, наконец, в промежутке [0, 1] функцию так: если х рационально и выражается несократимой дробью — то для х иррационального положим Мы утверждаем, что в каждой рациональной точке функция имеет обыкновенные разрывы, в то время как в каждой иррациональной точке она непрерывна.

Действительно, пусть будет любая точка в рассматриваемом промежутке. Если задаться произвольным числом то существует лишь конечное число натуральных чисел не превосходящих а значит в промежутке найдется лишь конечное число рациональных точек, для которых — Точку можно окружить такой окрестностью чтобы в нее не попала ни одна из этих точек (кроме, быть может, самой точки Тогда, лишь только будет ли х рационально или нет, во всяком случае . Значит, для любой точки существуют

Если есть иррациональная точка, то и т. е. в этой точке функция непрерывна; если же рационально, то отлично от 0, и налицо разрыв (обыкновенный), с обеих сторон.