212. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

В изложенном выше способе нарушается симметрия в отношении переменных: часть из них трактуется как независимые, часть - как зависимые, одни дифференциалы исключаются, другие сохраняются. Иногда это влечет за собой усложнение выкладок. Лагранж предложил метод, при котором все переменные сохраняют одинаковую роль.

Умножим равенства (8), соответственно, на произвольные пока («неопределенные») множители и результаты почленно сложим с (6). Мы получим равенство

где по-прежнему означают дифференциалы неявных функций (4) (в рассуждении мы пока сохраняем неравноправие переменных); производные вычислены в точке

Выберем теперь значения множителей так, чтобы обращались в нуль именно коэффициенты при зависимых дифференциалах

Это сделать можно, поскольку определитель (3) системы линейных уравнений, получающейся для определения отличен от нуля. При выбранных значениях множителей равенство (9) примет вид

Здесь мы снова имеем дело лишь с дифференциалами независимых переменных, поэтому коэффициенты при них должны быть нулями, т. е. наряду с (10) имеем и

Итак, для определения неизвестных да еще множителей имеем столько же уравнений, именно уравнений связи и уравнений

[см. (10) и (10*)]

Для того чтобы облегчить выписывание этих уравнений, обыкновенно вводят вспомогательную функцию

тогда упомянутые уравнения могут быть записаны в виде

Они выглядят так же, как и условия обыкновенного экстремума для функции . Это следует рассматривать лишь как указание, облегчающее запоминание.

И метод Лагранжа приводит к необходимым условиям. В остальном здесь может быть повторено то, что было сказано в конце предыдущего номера.

Замечание. В изложенной теории существенную роль играло предположение о ранге матрицы (2), которым мы воспользовались трижды. При решении задач одним из указанных методов - для уверенности в том, что не пропущена ни одна точка, доставляющая функции относительный экстремум, - следовало бы предварительно установить, что упомянутое предположение выполняется на деле во всех точках рассматриваемой области, удовлетворяющих уравнениям связи. В простых случаях мы будем предоставлять это читателю.