215. Понятие независимости функций.

Рассмотрим систему функций

определенных и непрерывных, вместе со своими частными производными, в некоторой -мерной открытой области §).

Рассмотрим случай, когда значение одной из них, например, однозначно определяется совокупностью тех значений, которые принимают остальные функции

Точнее говоря, если есть множество таких - -мерных точек, отвечающих всевозможным точкам то предполагается, что в будет иметь место функциональная зависимость

причем это равенство оказывается тождеством относительно если вместо всех подставить функции (17). Тогда

говорят, что в области функция зависит от остальных. Впрочем, для того, чтобы иметь возможность применять дифференциальное исчисление, мы включим в определение еще требование, чтобы функция (р была определена и непрерывна со своими частными производными в некоторой открытой области -мерного пространства, содержащей множество

Если, в частности, одна из функций (17), сводится к постоянной, то она явно будет зависеть от остальных: здесь можно просто положить Функции называются вообще зависимыми в области если одна из них (все равно какая) зависит от остальных.

Примеры. 1) Если положить

то нетрудно проверить, что во всем -мерном пространстве будет выполняться тождество

2) Аналогично, для функций

имеем тождественно (в трехмерном пространстве)

Все это - зависимые функции.

Если ни в области ни в какой-либо частичной, в ней содержащейся, области не имеет место тождество вида (18), то функции называют независимыми в области

Ответ на вопрос о независимости функций дает рассмотрение так называемой матрицы Якоби, составленной из частных производных этих функций по всем независимым переменным:

Предполагая прежде всего имеем такую теорему:

Теорема 1. Если хоть один определитель порядка, составленный из элементов матрицы (19), отличен от нуля в области то в этой области функции независимы.

Доказательство. Пусть

Если бы не равным нулю был не этот, а какой-нибудь другой определитель, то, изменив нумерацию переменных, можно было бы свести вопрос к случаю (20).

Доказательство теоремы будем вести от противного. Предположим, что одна из функций, например выражается через остальные, так что

хотя бы в некоторой части области

Продифференцировав это тождество по каждой из переменных , мы получим ряд тождеств (в вида

Мы видим, что элементы последней строки определителя (20) получаются путем сложения соответственных элементов первых строк, умноженных предварительно на множители

Такой определитель, как известно, равен нулю. Это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает невозможность равенства (21).