48. Важнейшие классы функций.
Перечислим здесь некоторые классы функций, получивших название элементарных.
1° Целая и дробная рациональные функции.
Функция, представляемая целым относительно буквы х многочленом:
(
постоянные), называется целой рациональной функцией.
Отношение двух таких многочленов:
называется дробной рациональной функцией. Она определена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.
Для примера на черт. 9 даны графики функции
(параболы) при различных значениях коэффициента
, а на черт. 10 — графики функции
(равнобочные гиперболы), также при различных значениях а.
2° Степенная функция.
Так называется функция вида
где [а — любое постоянное вещественное число. При целом
получается рациональная функция. При дробном мы имеем здесь радикал. Например, пусть
— натуральное число и
эта функция определена для всех значений х, если
— нечётное, и лишь для неотрицательных значений — при
чётном (в этом случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала). Наконец, если — иррациональное число, мы будем предполагать
допускается лишь при
На черт. 11 и 12 даны графики степенной функции при различных значениях
3° Показательная функция, т. е. функция вида
где а — положительное число (отличное от единицы); х принимает любое вещественное значение.
Графики показательной функции при различных значениях а даны на черт. 13.
4° Логарифмическая функция, т. е. функция вида
где а, как и выше, - положительное число (отличное от единицы); х принимает лишь положительные значения.
На черт. 14 даны графики этой функции при различных значениях а. 5° Тригонометрические функции:
![](/php/imageBook.php?path=/home/admin/sites/scask.ru/wp-content/uploads/2023/01/files-233.book&file=f_math1_48.files/page1.gif)
(кликните для просмотра скана)
![](/php/imageBook.php?path=/home/admin/sites/scask.ru/wp-content/uploads/2023/01/files-233.book&file=f_math1_48.files/page2.gif)
(кликните для просмотра скана)
![](/php/imageBook.php?path=/home/admin/sites/scask.ru/wp-content/uploads/2023/01/files-233.book&file=f_math1_48.files/page3.gif)
(кликните для просмотра скана)
Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, всегда выражают эти углы в радианах (поскольку не оговорено противное). Для
исключаются значения вида
а для
— значения вида
Графики функций
даны на черт. 15 и 16. График синуса обычно называют синусоидой.
Иной раз, особенно в технических вопросах, представляют интерес: 6° Гиперболические функции. Так называются функции:
(гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, ...);они определены для всех значений х, исключая
который теряет смысл при
. Эти функции проявляютзамечательную аналогию с тригонометрическими функциями.
Черт. 17.
Черт. 18.
Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки!)
из которых при
в частности, следует:
Например, первая из этих формул сводится к легко проверяемому тождеству:
Так же проверяются и остальные.
Графики гиперболических функций изображены на черт. 17 и 18.