48. Важнейшие классы функций.
Перечислим здесь некоторые классы функций, получивших название элементарных.
1° Целая и дробная рациональные функции.
Функция, представляемая целым относительно буквы х многочленом:
(
постоянные), называется целой рациональной функцией.
Отношение двух таких многочленов:
называется дробной рациональной функцией. Она определена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.
Для примера на черт. 9 даны графики функции 
(параболы) при различных значениях коэффициента 
, а на черт. 10 — графики функции 
(равнобочные гиперболы), также при различных значениях а.
2° Степенная функция.
Так называется функция вида
где [а — любое постоянное вещественное число. При целом 
получается рациональная функция. При дробном мы имеем здесь радикал. Например, пусть 
— натуральное число и
эта функция определена для всех значений х, если 
— нечётное, и лишь для неотрицательных значений — при 
чётном (в этом случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала). Наконец, если — иррациональное число, мы будем предполагать 
допускается лишь при 
На черт. 11 и 12 даны графики степенной функции при различных значениях 
3° Показательная функция, т. е. функция вида
где а — положительное число (отличное от единицы); х принимает любое вещественное значение.
Графики показательной функции при различных значениях а даны на черт. 13.
4° Логарифмическая функция, т. е. функция вида
где а, как и выше, - положительное число (отличное от единицы); х принимает лишь положительные значения.
На черт. 14 даны графики этой функции при различных значениях а. 5° Тригонометрические функции:
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, всегда выражают эти углы в радианах (поскольку не оговорено противное). Для 
исключаются значения вида
а для 
— значения вида
Графики функций 
даны на черт. 15 и 16. График синуса обычно называют синусоидой.
Иной раз, особенно в технических вопросах, представляют интерес: 6° Гиперболические функции. Так называются функции:
(гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, ...);они определены для всех значений х, исключая 
который теряет смысл при 
. Эти функции проявляютзамечательную аналогию с тригонометрическими функциями.
Черт. 17.
Черт. 18.
Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки!)
из которых при 
в частности, следует:
Например, первая из этих формул сводится к легко проверяемому тождеству:
Так же проверяются и остальные.
Графики гиперболических функций изображены на черт. 17 и 18.
