72. Непрерывность элементарных функций.
Для ряда элементарных функций непрерывность была доказана под видом примеров в 68. Пользуясь теоремой 2° предыдущего номера, легко, прежде всего, наново установить непрерывность функции 
или 
Функция 
монотонно возрастает при изменении я: в промежутке 
Ее значения положительны и заполняют весь промежуток 
что видно из существования логарифма 
для любого 
Следовательно, показательная функция непрерывна при любом значении х.
Аналогично, непрерывность функции 
скажем, при изменении х в промежутке 
вытекает из ее монотонности в этом промежутке, да еще из того факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое значение между - 1 и 
То же относится и к любому промежутку вида
Однако более интересны для нас новые результаты, которые так же легко могут быть получены применением названной теоремы. Продолжим перечисление основных элементарных функций, начатое в 68.
5° Логарифмическая функция: 
а 1). Ограничиваясь случаем 1, видим, что эта функция возрастает при изменении х в промежутке 
. К тому же она, очевидно,
принимает любое значение у из промежутка 
, именно, для 
Отсюда - ее непрерывность.
6° Степенная функция: 
при возрастании х от 0 до 
возрастает, если 
и убывает, если 
При этом она принимает любое положительное значение у (для 
следовательно, и она непрерывна.
Наконец, упомянем
7° Обратные тригонометрические функции:
Первые две непрерывны в промежутке 
а последние - в промежутке 
Доказательство предоставляем читателю.
Резюмируя, можно сказать, таким образом, что основные элементарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они имеют смысл (т. е. в соответствующих естественных областях их определения).
