233. Примеры.
1) Архимедова спираль: 
Так как 
то 
Это позволяет сразу устанавливать положение точки 
а с ней - нормали и касательной.
Заметим, что 
так что при 
т. е. угол 
стремится к прямому.
2) Гиперболическая спираль: 
(рис. 123).
На этот раз 
что также облегчает очевидным образом построение касательной.
3) Логарифмическая спираль: 
(рис. 134).
Имеем 
так что 
и сам угол 
Таким образом, логарифмическая спираль обладает тем замечательным свойством, что угол между радиусом-вектором и касательной сохраняет постоянную величину. Иными словами, логарифмическая спираль пересекает все свои радиусы-векторы под постоянным углом.
Рис. 134.
Рис. 135.
Этим свойством она напоминает окружность, которая также пересекает радиусы-векторы, исходящие из центра, под постоянным (именно под прямым) углом. [Впрочем, и окружность можно рассматривать как частный случай логарифмической спирали, отвечающий 
4) Улитки: 
(рис. 135).
Отметим, что 
оказывается не зависящей от 
Таким образом, если взять лежащие на одном луче (из полюса) точки различных улиток, отвечающих различным значениям 
то для всех этих точек полярная поднормаль будет общая, т. е. точка 
- одна и та же. Но при 
получается окружность, для которой построение нормали очевидно; тогда легко построить нормаль и для любой из улиток (рис. 135). Из треугольника 
вычисляется полярная нормаль:
Особенно просто выражение полярной нормали для кардиоиды 
5) Лемниската: 
(рис. 126).
Дифференцируем это равенство, считая 
функцией от 0; получим
Разделив почленно эти два равенства, ввиду (8), найдем
откуда 
Обозначая через а и 
углы наклона касательной и нормали, имеем
следовательно, 
угол наклона нормали к лемнискате равен утроенному полярному углу точки касания. Это дает простой прием построения нормали.
