38. Лемма о вложенных промежутках.
В заключение этого параграфа, посвященного монотонной варианте, остановимся на сопоставлении двух таких вариант, изменяющихся «навстречу» одна другой:
Пусть даны монотонно возрастающая варианта 
и монотонно убывающая варианта 
причем всегда
Если их разность 
стремится к 0, то обе варианты имеют общий конечный предел:
Действительно, при всех значениях 
имеем: 
а значит, ввиду (8), и 
Возрастающая переменная 
оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел
Аналогично, для убывающей переменной 
будем иметь
так что и она стремится к конечному пределу
Но, по теореме 1°, 30, разность обоих пределов
т. е. по условию равна 0, так что 
это и требовалось доказать.
Доказанному утверждению можно придать другую форму, в которой оно чаще применяется.
Назовем промежутком 
(где 
множество всех чисел (или, как говорят, «точек») х, удовлетворяющих неравенствам
Числа («точки») а и 
называются, соответственно, левым и правым концами промежутка, а их разность 
- длиной
промежутка. Нетрудно видеть, что на числовой оси промежутку отвечает отрезок (той же длины).
Условимся говорить, что промежуток 
содержится в промежутке 
или вложен в него, если все точки первого промежутка принадлежат второму или, что то же самое, если
Геометрический смысл этого ясен.
Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой промежутков
так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 с возрастанием 
Тогда концы 
промежутков (с разных сторон) стремятся к общему пределу
который представляет единственную точку, общую всем промежуткам.
Это есть лишь перефразировка доказанной выше теоремы: согласно условию,
так что левый конец 
и правый конец 
промежутка играют здесь роль монотонных вариант 
Так как 
стремится к с возрастая, а 
- убывая, то
т. е. точка с, действительно, принадлежит всем нашим промежуткам. В то же время другой, отличной от с, точки 
с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы
и длина 
промежутка не могла бы стремиться к 0.
Впоследствии нам не раз придется опираться на это предложение, которое мы будем называть «леммой о вложенных промежутках».
