125. Примеры.
Всего проще выглядит формула Тейлора, если 
К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв 
за новую независимую переменную.
Рассмотрим в виде примера некоторые конкретные разложения по этой формуле для элементарных функций.
1) Пусть 
тогда 
при любом 
Так как в этом случае 
то, по формуле (11),
2) Если 
, так что
Поэтому, положив в формуле 
имеем
3) Аналогично, при 
Таким образом (если взять 
4) Рассмотрим теперь степенную функцию 
где 
- не натуральное число и не нуль. В этом случае при 
либо сама функция (если 
либо ее производные (начиная с некоторого порядка, при 
бесконечно возрастают. Следовательно, здесь уже нельзя брать 
Возьмем 
т. е. станем разлагать 
по степеням 
Впрочем, как уже упоминалось, можно ввести в качестве новой переменной 
мы ее по-прежнему будем обозначать через х, и станем разлагать функцию 
по степеням х.
Как мы знаем [116, 2)],
так что
Разложение имеет вид
В частности, например, при 
будем иметь
Первое из этих разложений очень легко получается элементарно - дополнительный член здесь просто равен 
Второе же и третье Потребовали бы более длинных выкладок [ср. 63].
5) Если перейти к логарифмической функции 
которая стремится к 
при 
то, как и в предыдущем примере, мы предпочтем рассматривать функцию 
и разлагать ее по степеням х.
Тогда [116, 3)]
Отсюда 
6) Пусть теперь 
. Мы имели в 118, 4) значения ее производных при х = 0:
так что ее разложение представится в виде
7) Для функции 
закон образования коэффициентов в формуле Тейлора сложен. Тем не менее, несколько первых членов ее написать нетрудно. Так как, например,
то
так что
Пользуясь известными разложениями, можно, уже не вычисляя производных, непосредственно писать разложения и для более сложных функций. Например, предыдущая формула могла бы быть получена из разложений для 
Приведем новые примеры; при этом все степени х, до назначенной включительно, мы будем точно учитывать, а более высокие степени (не выписывая их) будем сразу включать в дополнительный член.
8) Написать разложение функции 
до 
. В силу 1),
но, по 2),
так что
Член с 
исчезает и, окончательно,
Аналогично,
9) Написать разложение функции 
до члена с 
Согласно 5), 
При этом, ввиду 3),
отсюда
или - после приведения -
Аналогично,
и
Все эти разложения, полученные без непосредственного использования формулы Тейлора, могли бы, конечно, быть получены и по этой формуле, и притом -в точности с теми же коэффициентами, ввиду установленной выше единственности подобного разложения функции.
Замечание. Так как рассмотренные здесь функции имели в окрестности точки 
производные всех порядков, то мы ничем не были стеснены в выборе числа 
в формуле (11), т. е. могли продолжать разложения этих функций вплоть до любой степени х.
