184. Производная по заданному направлению.

Частные производные функции по х, по у, по z выражают «скорость изменения» функции по направлению координатных осей. Например, есть «скорость изменения» функции по х: точка предполагается перемещающейся лишь по параллели оси х. Между тем,

во многих физических вопросах может представить интерес также «скорость изменения» функции и по другим направлениям. Так будет, например, в случае, если дано поле температуры, т. е. если задана температура в каждой точке М рассматриваемого тела. Законы распределения и перемещения тепла существенно зависят от скорости падения (или роста) температуры по всем направлениям. Уточним понятие «скорости изменения» или производной функции по любому заданному направлению. Здесь мы также будем иметь случай применить формулу (9).

Пусть функция определена в некоторой (открытой) области. Рассмотрим любую точку этой области и любую направленную прямую (ось) 1, проходящую через эту. точку (рис. 102).

Рис. 102.

Пусть - какая-нибудь другая точка этой оси, - длина отрезка между и М, взятая с надлежащим знаком, именно со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси и со знаком минус - в противном случае.

Пусть М неограниченно приближается к . Предел

называется производной от функции по направлению (или вдоль оси ) и обозначается следующим образом:

Эта производная характеризует «скорость изменения» функции в точке по направлению

В частности, как упоминалось, и обычные частные производные - тоже можно рассматривать как производные «по направлению».

Предположим теперь, что функция имеет в рассматриваемой области непрерывные частные производные Пусть ось образует с осями координат углы . Докажем, что при

сделанных предположениях производная по направлению существует и выражается формулой

Для доказательства заметим, что если положить то будем иметь

Таким образом, вдоль оси координаты х, у, z можно рассматривать, как функции t:

а функцию - как сложную функцию от При этом точке соответствует значение t, равное нулю.

Таким образом, имеем:

если только существует производная Но производная при сделанных предположениях существует и выражается по формуле (9) следующим образом:

Используя формулы (13), получаем

откуда и следует наше утверждение.

Зададимся теперь вопросом: по какому направлению функция в данной точке будет всего быстрее возрастать? Конечно, этот вопрос имеет смысл лишь в том случае, если производные

не равны одновременно нулю (ибо иначе - производная по любому направлению была бы нулем).

В этом предположении, прибегнем к преобразованию выражения (12):

Дроби в скобках можно рассматривать, как направляющие косинусы некоторого направления

и тогда мы получим

Если, наконец, через обозначить угол между направлениями то по известной формуле аналитической геометрии получим:

Теперь ясно, что, если I отождествляется с эта производная достигнет наибольшего значения:

Вектор имеющий проекции (14) на оси координат, указывает направление наиболее быстрого возрастания функции, а его длина дает величину соответствующей производной. Этот вектор назьюают градиентом функции

Переписав формулу (15) в виде

легко усмотреть, что вектор, который получится если на направлении

I отложить отрезок представляет собой попросту проекцию градиента на это направление.