193. Дифференциалы высших порядков.

Пусть в области задана некоторая функция имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Тогда, как мы знаем, (полным) дифференциалом называется следующее выражение:

где - произвольные приращения независимых переменных .

Мы видим, что также является некоторой функцией от Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для и, то будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о (полном) дифференциале от этого дифференциала который назьюается дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от u; он обозначается символом

Важно подчеркнуть, что приращения при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования из п° 185, будем иметь

или, раскрывая,

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, Вообще, если дифференциал о порядка, уже определен, то дифференциал порядка

определяется как (полный) дифференциал от дифференциала порядка:

Если для функции и существуют непрерывные частные производные всех порядков до порядка включительно, то существование этого дифференциала обеспечено. Но развернутые выражения последовательных дифференциалов становятся все более и более сложными. В целях упрощения их записи прибегают к следующему приему.

Прежде всего, в выражении первого дифференциала условно «вынесем букву и за скобки»; тогда его символически можно будет записать следующим образом:

Теперь замечаем, что если в выражении для второго дифференциала также «вынести и за скобки», то остающееся в скобках выражение формально представляет в раскрытом виде квадрат выражения

поэтому второй дифференциал символически можно записать так:

Аналогично можно записать третий дифференциал и т. д. Это правило - общее: при всяком к будем иметь символическое равенство

которое можно понимать так: сначала многочлен, стоящий в скобках, формально возводится по правилам алгебры в степень, затем все полученные члены «умножаются» на и (которое дописьюается в числителях при и только после этого всем символам возвращается их значение как производных и дифференциалов.

Мы видели, что это правило верно при поэтому достаточно показать, что если оно верно для то оно будет также верно и для

Допустив, что этот закон для выполняется, будем иметь в развернутом виде:

где суммирование распространяется на всевозможные группы неотрицательных целых чисел удовлетворяющих условию

суть «полиномиальные» коэффициенты.

В предположении, что существуют непрерывные производные (к порядка, продифференцируем предыдущую формулу; мы получим

Очевидно, то же самое мы могли бы получить, формально перемножив символические выражения:

и потом приписав u. Но это «произведение» есть не что иное, как

так что

Из предыдущих рассуждений видим, что дифференциал является однородным целым многочленом степени к, или, как говорят, является формой степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные порядка, умноженные на целочисленные постоянные («полиномиальные» коэффициенты).

Например, если то

и т. д. Положив конкретно будем иметь

Сложность выражения для дифференциала возрастает с увеличением числа переменных. Если то, скажем, третий дифференциал в развернутом виде таков: