36. Число е.

Мы используем здесь предельный переход для определения нового, до сих пор не встречавшегося нам числа.

Рассмотрим варианту

и попытаемся применить к ней теорему п° 34.

Так как с возрастанием показателя основание степени здесь убывает, то «монотонный» характер варианты непосредственно не усматривается. Для того чтобы убедиться в нем, прибегнем к разложению по формуле бинома:

Если от перейти теперь к , т. е. увеличить на единицу, то, прежде всего, добавится новый, (положительный) член, каждый же из написанных членов увеличится, ибо

любой множитель в скобках вида заменится большим множителем Отсюда и следует, что

т. е. варианта оказывается возрастающей.

Теперь покажем, что она к тому же ограничена сверху. Опустив в выражении (6) все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что

Заменив, далее, каждый множитель в знаменателях дробей (начиная с 3) числом 2, мы еще увеличим полученное выражение, так что, в свою очередь,

Но прогрессия начинающаяся членом имеет сумму поэтому , а значит и подавно

Отсюда уже следует, по теореме п° 34, что варианта имеет конечный предел. По примеру Эйлера его обозначают всегда буквой е. Это число

имеет исключительную важность как для самого анализа, так и для его приложений. Вот первые 15 знаков его разложения в десятичную дробь:

В следующем п° мы покажем удобный прием для приближенного вычисления числа , а также попутно установим, что есть число и а циональное.

Некоторые свойства числа которые мы установим впоследствии [54, (13)], делают особенно выгодным выбор именно этого числа в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию называются натуральными и обозначаются знаком без указания основания; в теоретических исследованиях пользуются исключительно натуральными логарифмами.

Упомянем, что обычные, десятичные, логарифмы связаны с натуральными известной формулой:

где М есть модуль перехода и равен

это легко получить, если прологарифмировать по основанию 10 тождество