89. Новые доказательства основных теорем.
Покажем теперь, как лемма Бореля может быть использована для доказательства основных теорем о непрерывных функциях Больцано-Коши, Вейерштрасса и Кантора.
1° 1-я теорема Больцано-Коши [80]. На этот раз доказывать ее будем от противного. Допустим, что - при соблюдении предположения
теоремы - все же ни в одной точке функция
не обращается в нуль. Тогда, по лемме п° 80, каждую точку х промежутка
можно окружить такой окрестностью
что в ее пределах
сохраняет определённый знак.
Бесконечная система
этих окрестностей покрывает, таким образом, весь данный промежуток
Тогда, по лемме Бореля, для этого оказывается достаточно уже конечного числа упомянутых окрестностей, образующих систему 2-
Левый конец а нашего промежутка принадлежит одной из окрестностей этой системы скажем, окрестности
Рис. 35.
Ее правый конец
в свою очередь, принадлежит окрестности
из
точка
содержится в окрестности
из
(рис. 35). После конечного числа шагов, передвигаясь направо, мы придем к окрестности
из
заключающей в себе уже правый конец
данного промежутка. Если бы 2 содержала еще какие-либо другие промежутки, кроме
то их, очевидно, можно было бы просто опустить.
В окрестности
функция
сохраняет определенный знак, именно, знак
Но и в функция имеет определенный знак, который должен тоже совпадать со знаком
поскольку и
взаимно налегают. Так же убеждаемся в том, что тот же знак функция сохраняет и в следующей по порядку окрестности
налегающей на
. В конце концов, придем к заключению, что и в последней окрестности
функция имеет знак
так что и
совпадает по знаку с
а это уж противоречит предположению. Теорема доказана.
2° 1-я теорема Вейерштрасса [84]. Ввиду непрерывности функции
какую бы точку х промежутка
ни взять, задавшись числом
можно окружить эту точку столь малой окрестностью
, чтобы для всех принадлежащих ей значений х выполнялись неравенства
или
Таким образом, в пределах каждой такой окрестности функция
заведомо ограничена: снизу - числом
а сверху - числом
Читателю ясно, что и здесь к бесконечной системе 2 окрестностей, обладающих указанным свойством, надлежит применить лемму Бореля. Из нее следует, что найдется в 2 конечное число окрестностей (6), также в совокупности покрывающих весь промежуток
Если
то, взяв в качестве
наименьшее из чисел
т.,,
а в качестве М - наибольшее из чисел
очевидно, будем иметь
во всем промежутке
3°. Теорема Кантора [87]. Зададимся произвольным числом
. На этот раз каждую точку х промежутка
окружим такой окрестностью
чтобы в ее пределах выполнялось неравенство
Если
также есть точка этой окрестности, то одновременно и
Таким образом, для любых точек
из а будем иметь
Стянем каждую окрестность а вдвое, сохраняя ее центр, т. е. вместо а рассмотрим окрестность
Из этих окрестностей также составится система покрывающая промежуток
и именно к ней мы применим лемму Бореля. Промежуток
покроется конечным числом промежутков из
Пусть теперь
будет наименьшим из всех чисел
- любые две точки нашего промежутка, удовлетворяющие условию:
Точка
должна принадлежать одной из выделенных окрестностей, например, окрестности
так что
Так как
то, ввиду (7),
откуда
т. е. точка х (а подавно - и точка
принадлежит той первоначально взятой окрестности
стягиванием которой получена окрестность
. В таком случае, по свойству всех первоначально взятых окрестностей,
скольку
было выбрано вне зависимости от положения точки
равномерная непрерывность функции
доказана.
Как видно из приведенных рассуждений, лемма Бореля с успехом прилагается в тех случаях, когда «локальное» свойство, связанное с окрестностью отдельной точки, подлежит распространению на весь рассматриваемый промежуток.