89. Новые доказательства основных теорем.

Покажем теперь, как лемма Бореля может быть использована для доказательства основных теорем о непрерывных функциях Больцано-Коши, Вейерштрасса и Кантора.

1° 1-я теорема Больцано-Коши [80]. На этот раз доказывать ее будем от противного. Допустим, что - при соблюдении предположения

теоремы - все же ни в одной точке функция не обращается в нуль. Тогда, по лемме п° 80, каждую точку х промежутка можно окружить такой окрестностью что в ее пределах сохраняет определённый знак.

Бесконечная система этих окрестностей покрывает, таким образом, весь данный промежуток Тогда, по лемме Бореля, для этого оказывается достаточно уже конечного числа упомянутых окрестностей, образующих систему 2-

Левый конец а нашего промежутка принадлежит одной из окрестностей этой системы скажем, окрестности

Рис. 35.

Ее правый конец в свою очередь, принадлежит окрестности из точка содержится в окрестности из (рис. 35). После конечного числа шагов, передвигаясь направо, мы придем к окрестности из заключающей в себе уже правый конец данного промежутка. Если бы 2 содержала еще какие-либо другие промежутки, кроме

то их, очевидно, можно было бы просто опустить.

В окрестности функция сохраняет определенный знак, именно, знак Но и в функция имеет определенный знак, который должен тоже совпадать со знаком поскольку и взаимно налегают. Так же убеждаемся в том, что тот же знак функция сохраняет и в следующей по порядку окрестности налегающей на . В конце концов, придем к заключению, что и в последней окрестности функция имеет знак так что и совпадает по знаку с а это уж противоречит предположению. Теорема доказана.

2° 1-я теорема Вейерштрасса [84]. Ввиду непрерывности функции какую бы точку х промежутка ни взять, задавшись числом можно окружить эту точку столь малой окрестностью , чтобы для всех принадлежащих ей значений х выполнялись неравенства

или

Таким образом, в пределах каждой такой окрестности функция заведомо ограничена: снизу - числом а сверху - числом

Читателю ясно, что и здесь к бесконечной системе 2 окрестностей, обладающих указанным свойством, надлежит применить лемму Бореля. Из нее следует, что найдется в 2 конечное число окрестностей (6), также в совокупности покрывающих весь промежуток Если

то, взяв в качестве наименьшее из чисел т.,, а в качестве М - наибольшее из чисел очевидно, будем иметь

во всем промежутке

3°. Теорема Кантора [87]. Зададимся произвольным числом . На этот раз каждую точку х промежутка окружим такой окрестностью чтобы в ее пределах выполнялось неравенство

Если также есть точка этой окрестности, то одновременно и

Таким образом, для любых точек из а будем иметь

Стянем каждую окрестность а вдвое, сохраняя ее центр, т. е. вместо а рассмотрим окрестность

Из этих окрестностей также составится система покрывающая промежуток и именно к ней мы применим лемму Бореля. Промежуток покроется конечным числом промежутков из

Пусть теперь будет наименьшим из всех чисел - любые две точки нашего промежутка, удовлетворяющие условию:

Точка должна принадлежать одной из выделенных окрестностей, например, окрестности

так что

Так как то, ввиду (7), откуда т. е. точка х (а подавно - и точка принадлежит той первоначально взятой окрестности

стягиванием которой получена окрестность . В таком случае, по свойству всех первоначально взятых окрестностей,

скольку было выбрано вне зависимости от положения точки равномерная непрерывность функции доказана.

Как видно из приведенных рассуждений, лемма Бореля с успехом прилагается в тех случаях, когда «локальное» свойство, связанное с окрестностью отдельной точки, подлежит распространению на весь рассматриваемый промежуток.