126. Другие формы дополнительного члена.
Формула Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано имеет многообразные приложения (см. следующую главу); но все они, так сказать, «локального» характера, т. е. относятся к самой точке 
Если в них иной раз и идет речь о других значениях х, то эти значения предполагаются
«достаточно близкими» к 
и наперед не могут быть взяты по произволу.
Между тем естественно попытаться использовать многочлен 
как приближение к функции 
с помощью которого она и может быть вычислена с нужной степенью точности.
Для того чтобы многочлен 
был пригоден для этой роли, необходимо иметь возможность оценивать разность (7) для данного х. В этом случае форма 
, характеризующая лишь стремление 
к 0 при 
служить не может. Она не позволяет устанавливать для каких значений х многочлен 
воспроизводит функцию 
с наперед указанной степенью точности; ничего не говорит она также о том, как можно было бы - при данном х - воздействовать на величину дополнительного члена 
за счет увеличения 
, и т. д.
Поэтому мы обратимся к выводу других форм дополнительного члена 
Для определенности будем рассматривать промежуток 
вправо от точки 
и будем считать функцию 
определенной в этом промежутке; случай, когда функция задана в промежутке 
исчерпывается аналогично.
На этот раз сделаем более тяжелые предположения, именно, допустим, что во всем промежутке 
существуют и непрерывны первые 
производных:
и кроме того, по крайней мере, в открытом промежутке 
существует и конечна 
производная 
Отметим, что, ввиду (6) и (7),
Фиксируем теперь любое значение х из промежутка 
, и по образцу правой части формулы (12), заменяя постоянное число 
на переменную z, составим новую, вспомогательную функцию:
причем независимую переменную z считаем изменяющейся в промежутке 
. В этом промежутке функция 
непрерывна и принимает на концах его значения [см. (12)]:
Кроме того, в промежутке 
существует производная 
или, после упрощения,
Возьмем теперь произвольную функцию 
непрерывную в промежутке 
и имеющую не обращающуюся в нуль производную 
по крайней мере, в открытом промежутке 
К функциям 
применим формулу Коши [114]:
где
Так как
то
Теперь, если подставлять вместо 
любые удовлетворяющие поставленным условиям функции, мы получим различные формы дополнительного члена 
Пусть 
где 
. Имеем:
Очевидно, эта функция удовлетворяет поставленным требованиям. Поэтому
Так как 
то 
и окончательно:
Это выражение называется дополнительным членом в форме Шлемильха и Роша (О. Schlomilch - Roche).
Из него, придавая 
конкретные значения, можно получать более частные формы дополнительного члена. Положив 
получим дополнительный член в форме Лагранжа:
который выглядит особенно просто. Он напоминает следующий очередной член формулы Тейлора, лишь вместо того, чтобы вычислить 
производную в точке 
эту производную берут для некоторого среднего (между 
значения с.
Формула Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа, таким образом, имеет вид
Если перенести в ней член 
налево, то легко усмотреть в ней прямое обобщение формулы конечных приращений [112], которую можно написать так:
Хотя охотнее всего пользуются дополнительным членом именно в форме Лагранжа, ввиду ее простоты, все же в отдельных случаях эта форма оказывается непригодной для оценки дополнительного члена, и приходится прибегать к другим формам, менее простым. Из них упомянем здесь о дополнительном члене в форме Коши, который получается из общей формы Шлемильха и Роша при 
