130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита.

Можно поставить более общую задачу интерполирования, задав в узлах кроме значений самой функции также и значения последовательных ее производных:

где неотрицательные целые числа. Общее число этих условий равно

Задачу вычисления значения функции при любом отличном от узлов значении х из - с использованием всех данных (8) - мы, подобно простейшему случаю, будем понимать так. Ищется целый многочлен наинизшей степени, который в каждом узле вместе со своими производными до порядка включительно, принимает те же значения, что и сама функция и ее соответствующие производные, а затем приближенно полагают

Узлы называются узлами интерполирования, соответственно кратности и,

Можно доказать существование и единственность многочлена степени не выше удовлетворяющего всем поставленным условиям. Его называют интерполяционным многочленом Эрмита, а формулу (9) - интерполяционной формулой Эрмитa (Ch. Hermite).

Если все положить равными нулю, то мы вернемся к формуле Лагранжа (2). Мы встречались и с другим частным случаем формулы Эрмита: возьмем один лишь узел но кратности и т. е. от многочлена не выше степени, потребуем, чтобы в точке его значение и значения его производных совпадали, соответственно, со значениями самой функции и ее производных. Мы знаем, что этим требованиям удовлетворяет многочлен Тейлора [124 (6)]

Таким образом приближенная формула

[ср. п° 127] также является частным случаем интерполяционной формулы Эрмита.

Дополнительный член формулы (9), восстанавливающий ее точность, выводится с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в предыдущем номере. Рассмотрим многочлен степени

и положим для

Если предположить, что функция в промежутке имеет последовательных производных, то это будет справедливо и для

Фиксируя значение отличное от узлов, мы выберем постоянную К так:

при таком выборе функция обращается в 0 и при Всего она будет иметь корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Применяя последовательно теорему Ролля как и выше (с тем лишь усложнением, что каждый кратный корень функции еще в течение нескольких шагов будет фигурировать и как корень ее последовательных производных), окончательно придем к утверждению, что в некоторой точке обратится в 0 производная Отсюда

и ввиду (10)

Это и есть интерполяционная формула Эрмита с дополнительным членом.

Формула Лагранжа с дополнительным членом является ее частным случаем. Точно так же, взяв единственный узел кратности мы как частный случай формулы (11) получим формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа [126 (13)].