143. Условия выпуклости функции.

Учитывая (2) и (2а), можно основное неравенство (1) переписать так:

или - более симметрично -

Наконец, эту условие может быть записано и с помощью определителя:

Рис. 72.

Во всех случаях предполагается, что х содержится между для определенности будем впредь считать Заметим, попутно, что условие выпуклости функции в форме (5) получает непосредственное геометрическое истолкование, если вспомнить, что написанный определитель выражает удвоенную площадь (рис. 72) с плюсом именно тогда, когда треугольник положительно

ориентирован, т. е. периметр его описывается против часовой стрелки.

Отметим особо, что, если речь идет о строгой выпуклости, то во всех этих условиях знак равенства должен быть исключен.

Удобные для проверки условия выпуклости функции получаются, если привлечь ее производные.

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и имеет в нем конечную производную Для того, чтобы была выпуклой в X, необходимо и достаточно, чтобы ее производная возрастала (в широком смысле).

Необходимость. Пусть функция выпукла. Предполагая припишем условие (4) в виде:

Если теперь устремить здесь или к то в пределе, соответственно, получим

и

откуда так что функция действительно оказывается возрастающей (в широком смысле).

Достаточность. Предположим теперь выполнение этого последнего условия. Для доказательства неравенства (6) применим к каждой из его частей формулу конечных приращений [112]

причем Так как, по предположению, то соотношение (6), действительно, имеет место, а из него можно восстановить соотношение (4), обусловливающее выпуклость функции

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна вместе со своей производной в промежутке X и имеет внутри него конечную вторую производную . Для выпуклости функции в X необходимо и достаточно, чтобы внутри X было

В связи с предыдущей теоремой, достаточно применить к функции теорему 2 п° 132.

Для вогнутости функции аналогично получается условие

Таким образом, требование

заведомо обеспечивает строгую вьшуклость (вогнутость), ибо исключает возможность для функции быть линейной в каком бы то ни было промежутке [142, 6°].

Теперь сразу облегчается построение любого числа примеров как выпуклых, так и вогнутых функций:

1) Функция является выпуклой в промежутке так как

2) функция вогнута в промежутке ибо

3) для функции (в том же промежутке) вторая производная — и функция выпукла; х

4) для функции (в том же промежутке) вторая производная равна отсюда видно, что при и 0 функция выпукла, а при вогнута, и т. д.

Во всех этих примерах фактически имела место строгая выпуклость или вогнутость.

Рис. 73.

В заключение, мы укажем еще одну важную геометрическую характеристику выпуклой функции При этом, вместо хорды графика функции которую мы рассматривали в п° 141, здесь мы привлечем к рассмотрению касательную в любой точке графика (рис. 73).

Теорема 3. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке и имеет в нем конечную производную Для выпуклости функции необходимо и достаточно, чтобы ее график всеми точками лежал над любой своей касательной (или на ней).

Необх одимость. Касательная к кривой в точке имеет угловой коэффициент Уравнение касательной напишется так:

Надлежит показать, что выпуклость функции влечет, для любых точек из X, неравенство

Оно равносильно двум таким

и

а эти неравенства совпадают, соответственно, с неравенствами (7а) и (76), полученными при доказательстве теоремы 1 (именно в предположении выпуклости функции), если в первом из них положить а во втором

Достаточность. Предположим, наоборот, что выполняется неравенство (10) или - что то же - неравенства (11а) и (116). Тогда по ним можно восстановить неравенства (7а) и (76), откуда следует, что так что производная будет возрастающей функцией. Это же, в свою очередь, как мы знаем (теорема 1) влечет за собой выпуклость функции

Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что фактически (см. сноску на стр. 299) необходимость неравенства (10) - для данного и произвольного - доказана в предположении лишь существования производной в самой точке