17. Абсолютные величины.
В интересах дальнейшего, присовокупим еще несколько замечаний об абсолютных величинах.
Прежде всего, установим, что неравенство:
(где, конечно,
равносильно двойному неравенству:
Действительно, из
следует, что одновременно
Обратно, если дано, что
то имеем одновременно:
но одно из этих чисел
и есть
так что наверное
.
Аналогично, оказываются равносильными и неравенства:
Докажем, далее, полезное неравенство:
Складывая почленно очевидные неравенства
получим
откуда, в силу сделанного выше замечания, и вытекает требуемое неравенство.
С помощью математической индукции оно распространяется на случай любого числа слагаемых:
Если заменить в доказанном неравенстве
на
то получим
Так как
Аналогично
Так как одновременно и
то, очевидно,
Все эти неравенства будут полезны в теории пределов.