17. Абсолютные величины.

В интересах дальнейшего, присовокупим еще несколько замечаний об абсолютных величинах.

Прежде всего, установим, что неравенство: (где, конечно, равносильно двойному неравенству:

Действительно, из следует, что одновременно Обратно, если дано, что то имеем одновременно: но одно из этих чисел и есть так что наверное .

Аналогично, оказываются равносильными и неравенства:

Докажем, далее, полезное неравенство:

Складывая почленно очевидные неравенства

получим

откуда, в силу сделанного выше замечания, и вытекает требуемое неравенство.

С помощью математической индукции оно распространяется на случай любого числа слагаемых:

Если заменить в доказанном неравенстве на то получим

Так как

Аналогично

Так как одновременно и

то, очевидно,

Все эти неравенства будут полезны в теории пределов.