30. Арифметические операция над переменными.

Следующие теоремы важны в том отношении, что с их помощью во многих случаях делается ненужным восхождение всякий раз к определению понятия «предел», с разысканием по заданному соответствующего и т. д. Этим вычисление пределов значительно облегчается.

Если варианты имеют конечные пределы:

то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причем

Из условия теоремы следует, что

где - бесконечно малые. Тогда

Здесь есть бесконечно малая по лемме 1; следовательно, пользуясь вторым определением предела, можно утверждать, что варианта имеет предел, равный что и требовалось доказать.

Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых.

2° Если варианты имеют конечные пределы:

то и произведение их также имеет конечный предел, и

Исходя из тех же равенств (1), имеем на этот раз

Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая. Отсюда и следует, что варианта хпуп, действительно, имеет пределом

Эта теорема может быть распространена на случай любого конечного числа сомножителей (например, методом математической индукции).

3° Если варианты имеют конечные пределы:

причём отлично от 0, то и отношение их также имеет конечный предел, а именно,

Поскольку , согласно утверждению 3° в 26, начиная с некоторого места, не только но даже

где - постоянное число. Ограничимся теми значениями номера для которых это выполняется; тогда отношение — заведомо имеет смысл.

Исходя, по-прежнему, из равенств (1), имеем

Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая. Множитель же при нем, на основании сказанного вначале, будет ограниченной переменной:

Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет бесконечно малым, а оно представляет разность между вариантой и числом Итак, предел — есть что и требовалось доказать.