33. Теорема Штольца и ее применения.

Для определения пределов неопределенных выражений — типа — часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу

Пусть варианта причем - хотя бы начиная с некоторого места — с возрастанием пиуп возрастает: Тогда

если только существует предел справа (конечный или далее бесконечный).

Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу I:

Тогда по любому заданному найдется такой номер что для будет

или

Значит, какое бы ни взять, все дроби

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания вместе с номером положительны, то между теми же границами содержится и дробь

числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель - сумма всех знаменателей. Итак, при

Напишем теперь тождество (которое легко непосредственно проверичь):

откуда

Второе слагаемое справа, как мы видели, при становится первое же слагаемое, ввиду того, что также будет скажем, для Если при этом взять , то для очевидно,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела приводится к рассмотренному. Пусть, например,

Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших и)

следовательно, вместе с причем варианта возрастаете возрастанием номера . В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

Обратимся снова к примерам.

12) Мы видели уже в 9), что при

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

То же относится и к примеру 11).

13) Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):

Если варианта имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта

(«среднее арифметическое» первых значений варианты

Действительно, полагая в теореме Штольца

имеем:

Например, если мы знаем [10)], что то и

14) Рассмотрим теперь варианту (считая к - натуральным)

которая представляет неопределенность вида —

Полагая в теореме Штольца

будем иметь

Но

так что

и [см. 2)]

15) В заключение определим предел варианты

представляющей в первой форме неопределенность вида а во второй - вида Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида

Полагая равным числителю этой дроби, а знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

Но

а

так что [см. 2)], окончательно,