13. Свойства сложения.
Легко удостовериться, что для вещественных чисел сохраняются свойства:
Докажем, например, последнее. Если рациональные числа 
таковы, что
то, очевидно,
Таким образом, а есть вещественное число, заключенное между числами вида 
между которыми заключена, по определению, и сумма 
Но такое число может быть только одно; поэтому 
что и требовалось доказать.
Обратимся к свойству II 4° и докажем, что для каждого вещественного числа а существует (симметричное ему) число -а, удовлетворяющее условию 
При этом достаточно ограничиться случаем иррационального числа а.
Предполагая, что число а определяется сечением 
мы определим число -а следующим образом. К нижнему классу А числа -а мы отнесем все рациональные числа - а, где а - любое число класса А, а к верхнему классу А этого числа отнесем все числа - а, где а - любое число класса А. Нетрудно видеть, что построенное разбиение есть сечение и, действительно, определяет вещественное (в данном случае - иррациональное) число: это число обозначим - а.
Докажем теперь, что оно удовлетворяет указанному выше условию. Пользуясь самим определением числа -а, видим, что сумма 
есть единственное вещественное число, заключенное между числами вида 
где 
рациональны 
Но, очевидно,
так что и число 0 заключено между только что упомянутыми числами. Ввиду единственности числа, обладающего этим свойством, имеем
что и требовалось доказать.
Наконец, установим свойство:
II 5° из 
следует 
.
Если 
то между ними можно вставить два рациональных числа 
По замечанию в 9, существуют такие два рациональных числа с и с, что
Отсюда
а по определению суммы
Сопоставляя все эти неравенства, мы и приходим к требуемому заключению.
Таким образом, по отношению к сложению область вещественных чисел обладает всеми основными свойствами II 1° - 5°, которые в 3 были первоначально сформулированы для рациональных чисел.
чисел 
установлено понятие абсолютной величины числа а (для которой мы сохраняем обозначение 
и т. д.
