161. Арифметическое n-мерное пространство.

Переходя к функциям от независимых переменных (при мы сначала остановимся на системах совместных значений этих переменных.

В случае такая система из трех чисел как ясно читателю, еще может быть геометрически истолкована как точка пространства, а множество таких троек - как часть пространства или геометрическое тело. Но при возможности непосредственной геометрической интерпретации уже нет, ввиду отсутствия у нас интуиции пространства с числом измерений, большим трех.

Тем не менее, желая распространить геометрические методы (оказавшиеся плодотворными для функций двух и трех переменных) и на теорию функций большего числа переменных, в анализе вводят понятие -мерного «пространства» и при

Назовем (-мерной) «точкой» систему из вещественных чисел: сами числа являются координатами этой «точки» М. Множество всех мыслимых -мерных «точек» составляет ерное «пространство» (которое иногда называют арифметическим).

Целесообразно ввести понятие «расстояния» между двумя (-мерными) «точками»

Подражая известной из аналитической геометрии формуле, полагают

при или 3 это «расстояние» совпадает с обычным расстоянием между двумя соответственными геометрическими точками.

Если взять еще одну «точку»

то, как можно доказать, для «расстояний» и выполняется неравенство

напоминающее известную теорему геометрии: «сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон».

Действительно, для любого набора вещественных чисел имеет место неравенство

Если положить здесь

то получим

что равносильно . Таким образом, существенное свойство расстояния оказывается налицо и в нашем «пространстве».

В -мерном «пространстве» можно рассматривать и непрерывные «кривые».

Известно [106], что уравнения

где суть функции от параметра t, непрерывные в некотором промежутке выражают на плоскости непрерывную кривую. Аналогично, но лишь с помощью трёх непрерывных функций:

выражается непрерывная кривая в (обыкновенном) пространстве. Подражая этому, рассмотрим теперь непрерывных функций от t

Тогда множество «точек»

получаемых при различных значениях параметра и составляет непрерывную «кривую» в -мерном «пространстве». Положив

можно сказать, что эта «кривая» соединяет «точки»

В том случае, когда все функции оказываются линейными, «кривая» переходит в «прямую»:

здесь коэффициенты предполагаются необращлющимися зараз в изменяется от до Будем считать «точки» её следующими одна за другой в порядке возрастания параметра; если из соответствующих «точек» именно «точка» М лежит между двумя другими, так как следует за М и предшествует При этих условиях, как легко показать, расстояния между ними удовлетворяют соотношению:

что является характерным для прямой в обычном пространстве. Уравнения «прямой», проходящей через две заданные «точки»

очевидно, могут быть написаны в виде:

причём сами «точки» М и М получаются отсюда при и 1. Если же изменять t только от 0 до 1, то получится «прямолинейный отрезок», соединяющий эти «точки».

«Кривая», состоящая из конечного числа «прямолинейных отрезков», называется «ломаной».