225. Кривые механического происхождения.

Продолжая перечень примеров, рассмотрим еще некоторые кривые механического происхождения, полученные путем качения одних кривых по другим.

Рис. 118.

6) Циклоида. Вообразим, что по прямой (рис. 118) слева направо катится без скольжения круг радиуса а с центром в А. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, и называется циклоидой. Проследим, например, путь точки О за время одного оборота круга.

Рассмотрим катящийся круг в новом положении. Точкой касания служит уже другая точка таким образом, по прямой точка касания переместилась на расстояние . В то же время точка О переместилась в положение М, пройдя по окружности круга путь Так как качение происходит без скольжения, то эти пути равны:

Если выбрать теперь в качестве параметра, определяющего положение точки, угол на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикальное положение то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:

Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид

При изменении t от до получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на рис. 118.

Так как производные

одновременно обращаются в 0 при то этим значениям отвечают особые точки кривой. Но [106, (10)]

так что, например, при (или при производная будет стремиться ясно, что в начальной точке (равно как и в других особых точках) касательная вертикальна: здесь налицо острие [точка возврата, 237].

7) Эпи- и гипоциклоида. Если один круг без скольжения катится извне по другому кругу, то кривая, описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой. В случае же качения изнутри мы имеем дело с гипоциклоидой. Остановимся на выводе уравнений первой из этих кривых.

Рис. 119.

Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось х проведем через то положение А интересующей нас точки, в котором она является точкой касания обоих кругов (рис. 119). Когда подвижный круг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А перейдет в М. Геометрическое место точек М нам и надлежит определить.

Обозначим через а радиус неподвижного круга, а через та — радиус катящегося круга. Выберем за параметр здесь угол между радиусом соединяющим центр катящегося круга с интересующей нас точкой на его окружности, и радиусом проведенным в точку касания. В начале движения пусть этот угол равен 0.

Прежде всего, посмотрим, в чем здесь проявляется отсутствие скольжения. Дуга пройденная точкой касания по неподвижной окружности, должна равняться дуге пройденной точкой касания по катящейся окружности:

Выразим теперь координаты точки М через Имеем

но

так что

Окончательно

Подобным же образом найдем

Эти уравнения дают параметрическое представление эпициклоиды. Когда катящийся круг снова придет в соприкосновение с неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале движения (т. е. при ), точка М закончит одну ветвь кривой. При дальнейшем качении она будет описывать следующую ветвь, подобную первой, и т. д.

Производные

обращаются одновременно в 0 при (где , т. е. всякий раз, когда рассматриваемая на подвижном круге точка становится точкой касания. Соответствующие точки кривой будут особыми (точки возврата).

Рис. 120.

В случае гипоциклоиды подобным же образом получаются такие параметрические уравнения:

Здесь также означает отношение радиуса катящегося круга к радиусу неподвижного. Легко заметить, что эти уравнения получаются из уравнений эпициклоиды заменой на .

На рис. 120 изображены эпициклоиды, соответствующие и гипоциклоиды, соответствующие . В последней читатель узнает астроиду.

8) Эвольвента круга. Представим себе, что на круг, описанный из центра О радиусом а, навернута по часовой стрелке нить; пусть конец нити приходится в точке А. Станем нить развертывать (против часовой стрелки), сматывая с круга и все время натягивая ее за конец. Кривая, описываемая при этом концом нити, называется эвольвентой круга [ср. ниже 254, 246].

Рис. 121.

Возьмем начало координат в центре О (рис. 121) и проведем ось х через точку А. Когда будет смотана часть нити, она займет положение располагаясь по касательной к кругу, а точка А перейдет в М. Итак, . В качестве параметра введем угол между радиусами ОА и

Координаты х, у точки М выразятся следующим образом:

но а углы и равны так что

Далее,

Таким образом, наша кривая представляется следующими параметрическими уравнениями:

Единственная особая точка отвечает значению при котором обращаются в 0 обе производные

Предлагаем читателю убедиться в том, что та же кривая получится, если катить прямую (без скольжения) по кругу и рассмотреть траекторию какой-либо точки прямой.