§ 3. Построение графиков функций
146. Постановка задачи.
Во всеоружии методов дифференциального исчисления вернемся к вопросу о построении графиков функций 
Пусть сначала требуется построить график непрерывной в конечном промежутке 
функции 
При этом сейчас основной целью для нас является возможно точная характеристика самого хода изменения функции; точность отдельных ординат интересует нас в меньшей степени.
Обычно применяемый прием построения «по точкам» [47], взятым более или менее густо, но случайно и без отношения к (неизвестным наперед) особенностям графика, непригоден. Он прежде всего требует вычисления большого числа координат, что практически неудобно. Но главное в другом: он непригоден принципиально, потому что именно ввиду случайности вычисляемых ординат он все же не обеспечивает достижения поставленной цели.
Предположим теперь, что функция 
вообще имеет конечную производную 
исключение может представиться лишь в конечном числе отдельных точек, где производная оказывается бесконечной - определенного знака или разных знаков справа и слева. Тогда методы дифференциального исчисления дают возможность установить некоторое число «опорных» точек, характерных именно для данного графика, по которым график строится уже с достаточной точностью.
Прежде всего, мы имеем здесь в виду поворотные точки графика, т. е. вершины его горбов и впадин, отвечающие экстремальным значениям функции [134-138]. Впрочем, к ним следует
присоединить все вообще точки, где касательная горизонтальна или вертикальна, даже если они не отвечают экстремумам функции. Разумеется, должны быть отмечены и концы графика.
Когда упомянутые только что точки нанесены на чертеж (а число их обычно невелико), этого, собственно, уже достаточно для построения графика.
Построенный подобным образом график уже довольно полно отображает ход изменения функции, точно отмечая промежутки ее возрастания и убывания, а также точки, где скорость изменения функции падает до нуля 
или возрастает до бесконечности 
Можно достигнуть дальнейшего уточнения графика, если учесть его выпуклость (выпуклость вниз) или вогнутость (выпуклость вверх) на отдельных участках и положение отделяющих их точек перегиба [143, 145].
