200. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области §) и, за исключением, быть может, отдельных точек, имеет в этой области конечные частные производные. По теореме Вейерштрасса [173], в этой области найдется точка в которой функция получает наибольшее (наименьшее) из всех значений. Если точка лежит внутри области в), то в ней функция, очевидно, имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка наверное содержится среди «подозрительных» по экстремуму точек. Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция и может достигать и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области нужно найти все внутренние точки, «подозрительные» по экстремуму, вычислить значения функции в них и сравнить со значениями функции в пограничных точках области: наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.

Поясним сказанное примерами.

1) Пусть требуется найти наибольшее значение функции

в треугольнике, ограниченном осью х, осью у и прямою (рис. 106). Имеем

Внутри области производные обращаются в нуль в единственной точке , в которой . Так как на границе области, т. е. на прямых наша функция равна 0, то, очевидно, найденная выше точка — и доставляет функции наибольшее значение.

Рис. 106.

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции

при условии, что переменные х, у, z связаны зависимостью Определив отсюда и подставив его выражение в и, придем к функции

от двух независимых переменных х, у в круге

Производные

одновременно обращаются в нуль в точках

Теперь надлежит обратиться к границе области, т. е. к окружности Определяя отсюда и подставляя его выражение в и, получим функцию одной переменной х

в промежутке Внутри этого промежутка производная

обращается в нуль при

Наконец, вспомним о концах рассматриваемого промежутка

Итак, подлежат сравнению значения

из них наименьшим будет 0, а наибольшим . Это и будут искомые наименьшее и наибольшее значения функции, которые достигаются, соответственно, в точках

и

Вообще, в случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривою (или несколькими кривыми). Вдоль этой кривой (или каждой из кривых, если их несколько) переменные х, у либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра, так что на границе наша функция оказывается зависящей от одной переменной, и ее наибольшее (наименьшее) значение находится уже методами п° 139. Если, скажем, кривая задана параметрическими уравнениями:

где t изменяется в промежутке , то на этом кривой наша функция будет (сложной) функцией от t:

для которой наибольшее (наименьшее) значение найти мы умеем.

3) Найти наибольшее значение для произведения

неотрицательных чисел х, у, z, t, при условии, что сумма их сохраняет постоянную величину:

Покажем, что наибольшее для и значение получится, когда множители все равны:

Определив t из данного условия: подставим в и это выражение:

Мы имеем здесь функцию от трех независимых переменных х, у, z, в трехмерной области, определяемой условиями

Геометрически эта область представляется в виде тетраедра, ограниченного плоскостями

Вычисляем производные и приравниваем их нулю:

Внутри области уравнения эти удовлетворяются лишь в точке в которой . Так как на границе области то в найденной точке, действительно, достигается для функции наибольшее значение.

Утверждение наше доказано (ибо при также и

Вообще, в случае функции трех переменных область ограничивается поверхностью (или рядом поверхностей). Вдоль такой поверхности переменные х, у, z зависят уже от двух параметров (ими могут служить и две из этих переменных, как, например, только что: Тогда и функция и будет зависеть только от двух параметров, так что определение наибольшего (наименьшего) значения ее на границе является уже более простой задачей, о которой шла речь выше. И т. д.

Если функция задана лишь в открытой (или неограниченной) области то уже нельзя заранее утверждать, что она достигает в области своего наибольшего (наименьшего) значения. Тем не менее такое значение в отдельных случаях может и существовать; мы поясним на примере, как в этом можно удостовериться.

4) Найти наименьшее значение для суммы

положительных чисел при условии, что произведение их сохраняет постоянную величину

Покажем, что наименьшее значение для к получится, когда слагаемые все равны:

Определим подставим это выражение в и:

Нам нужно отыскать наименьшее значение для этой функции трех переменных х, у, z, в области, определяемой неравенствами т. е. в первом координатном октанте, открытом и безграничном.

Попробуем применить прежний метод: если в области есть точка, где наша функция достигает наименьшего значения, то эта точка, как и прежде, должна быть в числе стационарных. Имеем

отсюда чему отвечает при этом

Как теперь проверить, что это значение, действительно, будет наименьшим?

Ясно, что при приближении к пограничным плоскостям равно как и при удалении в бесконечность, наша функция и бесконечно возрастает. Найденную точку можно окружить кубом , взяв настолько большим, а настолько малым, чтобы вне этого куба и на его поверхности

было . Но в кубе, как в замкнутой и ограниченной области, функция и должна иметь наименьшее значение; теперь уже ясно, что это значение достигается именно в найденной выше точке и что оно будет наименьшим и для всей первоначальной области, ч. и тр. д.

Замечание. В примерах 1), 3), 4) внутри рассматриваемой области существовала одна лишь «подозрительная» точка. Можно было бы удостовериться, что в ней налицо максимум (или минимум). Однако - в отличие от того, что было отмечено для случая функции одной переменной [см. замечание в 139] - здесь из этого одного нельзя было бы сделать заключение, что мы имеем дело с наибольшим (наименьшим) значением функции в области.

Следующий простой пример показывает, что подобное заключение в действительности может привести к неверному результату. Рассмотрим в прямоугольнике функцию

Ее производные

в пределах области обращаются в нуль лишь в точке (0, 0). Как легко убедиться с помощью критерия п° 197, в ней функция имеет максимум (равный 0). Однако, значение это не будет наибольшим в области, ибо, например, в точке (5, 0) функция

Вследствие этого, в случае функции нескольких переменных, - при разыскании наибольшего или наименьшего значения функции в области - исследование на максимум и минимум оказывается практически ненужным.

Рис. 107.