178. Полное приращение функции.

Если, исходя из значений независимых переменных, придать всем трем некоторые приращения то функция получит приращение

которое называется полным приращением функции.

В случае функции от одной переменной, в предположении существования в точке (конечной) производной для приращения функции имеет место формула [96 (2)]

где а зависит от при

Мы имеем в виду установить аналогичную формулу для приращения функции

где зависят от и вместе с ними стремятся к нулю. Однако, на этот раз придется наложить на функцию более тяжелые ограничения.

Теорема. Если частные производные существуют не только в точке но и в некоторой ее окрестности, и кроме того непрерывны (как функции от в этой точке, то имеет место формула (1).

Для доказательства представим полное приращение функции в виде:

Каждая из этих разностей представляет частное приращение, функции лишь по одной переменной. Так как мы предположили существование частных производных в окрестности точки то при достаточной малости - к этим разностям по отдельности можно применить формулу конечных приращений мы получим

Если положить здесь:

то придем к выражению (1) для . При аргументы производных в левых частях этих равенств стремятся к (ибо - правильные дроби), следовательно, сами производные, ввиду предположенной непрерывности их для этих значений переменных, стремятся к производным

в правых частях, а величины - к нулю. Этим и завершается доказательство.

Доказанная теорема дает возможность, между прочим, установить, что из существования и непрерывности в данной точке частных производных вытекает непрерывность в этой точке самой функции, действительно, если то, очевидно, и

Для того чтобы формулу (1) можно было написать в более компактной форме, введем в рассмотрение выражение:

- расстояние между точками

Пользуясь им, можем написать:

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через будем иметь

где зависит от и стремится к нулю, если или, короче, если Итак, формулу (1) можно теперь переписать в виде:

где при . Величина очевидно, может быть записана, как (если распространить введенное в 60 обозначение и на случай функций нескольких переменных).

Заметим, что в нашем рассуждении не был формально исключен случай, когда приращения порознь или даже все сразу равны 0. Таким образом, говоря о предельных соотношениях

при мы понимаем их в широком смысле и не исключаем для этих приращений возможности в процессе их изменения обращаться в нуль. аналогичное замечание в 96.)

При доказательстве предыдущей теоремы мы потребовали от функции нескольких переменных больше, чем в случае функции одной переменной. Для того чтобы показать, что без соблюдения этих требований формула (1) или (2) здесь могла бы оказаться и неприложимой, рассмотрим, в заключение, следующий пример (где для простоты мы имеем дело всего лишь с двумя независимыми переменными).

Определим функцию равенствами:

Эта функция непрерывна на всей плоскости; для точки (0, 0) это следует из 167, (5). Далее, существуют частные производные по х и по у также на всей плоскости. При очевидно,

В начальной же точке имеем: это непосредственно вытекает, по самому определению частных производных, из того, что Легко показать, что в точке (0, 0) непрерывность производных нарушается (для первой из них достаточно, например, положить

Формула вида (1) или (2) для нашей функции в точке (0, 0) не имеет места. В самом деле, если допустить противное, то было бы

то,

где при . Положив, в частности, имели бы

и не стремилось бы к нулю при что противоречит допущению. Аналогичную особенность в точке (0, 0) проявляет и функция

Предоставляем читателю разобраться в этом.