7. Упорядочение области вещественных чисел.

Два иррациональных числа определяемых соответственно сечениями , считаются равными в том и только в том

случае, если эти сечения тождественны, впрочем, достаточно потребовать совпадения нижних классов А и В, ибо верхние классы А и В тогда совпадут сами собой. Это определение можно сохранить и в случае, когда числа а и рациональны. Иными словами, если два рациональных числа а и равны, то определяющие их сечения совпадают, и, обратно, - из совпадения сечений вытекает равенство чисел а и При этом разумеется, следует учесть условие, заключенное выше насчет рациональных чисел

Перейдем теперь к установлению понятия «больше» по отношению к вещественным числам. Для рациональных чисел это понятие уже установлено. Для рационального числа иррационального числа а понятие «больше» было, собственно, установлено в 6: именно, если определяется сечением мы считаем, что а больше всех рациональных чисел, входящих в класс А, и в то же время все числа класса А больше

Пусть теперь имеем два иррациональных числа а и причём а определяется сечением - сечением Мы будем считать то число большим, у которого нижний класс больше. Точнее говоря, мы будем считать если класс А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним. (Это условие, очевидно, равносильно тому, что класс В целиком содержит в себе класс А, не совпадая с ним.) Легко проверить, что это определение может быть сохранено и для случаев, когда одно из чисел или даже оба — рациональны.

Покажем, что для вещественных чисел выполняются свойства I 1° и 2°.

I 1° Для каждой пары (вещественных) чисел имеет место одно, и только одно, из соотношений:

Если сечение определяющее число а, совпадает с сечением определяющим число то Если эти сечения не совпадают, то либо А целиком содержит в себе В, и тогда либо этого нет. В последнем случае существует элемент класса В, попадающий в класс А. Тогда для любого элемента а класса А имеем Поэтому класс В содержит класс А, не совпадая с ним, и мы имеем

I 2° Из следует, что

Пусть числа (среди которых могут быть и рациональные) определяются сечениями Если то по определению понятия «больше» класс А содержит в себе класс В, не совпадая с ним. В свою очередь, раз класс В содержит в себе класс

С, не совпадая с ним. Следовательно, класс А целиком содержит в себе класс С, не совпадая с ним, т. е. а

Понятие «меньше» устанавливается теперь, как и в 2: мы говорим, что если Точно так же знак обладает транзитивным свойством, подобно знаку