7. Упорядочение области вещественных чисел.
Два иррациональных числа
определяемых соответственно сечениями
, считаются равными в том и только в том
случае, если эти сечения тождественны, впрочем, достаточно потребовать совпадения нижних классов А и В, ибо верхние классы А и В тогда совпадут сами собой. Это определение можно сохранить и в случае, когда числа а и
рациональны. Иными словами, если два рациональных числа а и
равны, то определяющие их сечения совпадают, и, обратно, - из совпадения сечений вытекает равенство чисел а и
При этом разумеется, следует учесть условие, заключенное выше насчет рациональных чисел
Перейдем теперь к установлению понятия «больше» по отношению к вещественным числам. Для рациональных чисел это понятие уже установлено. Для рационального числа
иррационального числа а понятие «больше» было, собственно, установлено в 6: именно, если
определяется сечением
мы считаем, что а больше всех рациональных чисел, входящих в класс А, и в то же время все числа класса А больше
Пусть теперь имеем два иррациональных числа а и
причём а определяется сечением
- сечением
Мы будем считать то число большим, у которого нижний класс больше. Точнее говоря, мы будем считать
если класс А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним. (Это условие, очевидно, равносильно тому, что класс В целиком содержит в себе класс А, не совпадая с ним.) Легко проверить, что это определение может быть сохранено и для случаев, когда одно из чисел
или даже оба — рациональны.
Покажем, что для вещественных чисел выполняются свойства I 1° и 2°.
I 1° Для каждой пары (вещественных) чисел
имеет место одно, и только одно, из соотношений:
Если сечение
определяющее число а, совпадает с сечением
определяющим число
то
Если эти сечения не совпадают, то либо А целиком содержит в себе В, и тогда
либо этого нет. В последнем случае существует элемент
класса В, попадающий в класс А. Тогда для любого элемента а класса А имеем
Поэтому класс В содержит класс А, не совпадая с ним, и мы имеем
I 2° Из
следует, что
Пусть числа
(среди которых могут быть и рациональные) определяются сечениями
Если
то по определению понятия «больше» класс А содержит в себе класс В, не совпадая с ним. В свою очередь, раз
класс В содержит в себе класс