§ 4. Длина плоской кривой

245. Леммы.

Рассмотрим (незамкнутую или замкнутую) плоскую кривую А В, заданную параметрически уравнениями:

где функции здесь пока предполагаются лишь непрерывными. Пусть кратных точек на кривой нет, так что каждая точка получается лишь при одном значении параметра t (за исключением - если кривая замкнута - совпадающих концов кривой). При этих предположениях кривую будем называть непрерывной простой кривой.

Имея в виду установить для такой кривой понятие длины, мы начнем с некоторых вспомогательных предложений. Пусть и значениям параметра и отвечают точки Лемма 1. Для любого найдется такое что при длина хорды

Действительно, ввиду (равномерной) непрерывности функций и у из (1), по 8 найдется такое что при будет одновременно

а тем самым

Имеет место также

Лемма 2. В случае незамкнутой кривой для любого существует такое 0, что лишь только длина хорды тотчас же разность значений параметра, соответствующих ее концам, будет .

Допустим противное; тогда для некоторого при любом найдутся такие две точки что и в то же время Взяв последовательность сходящуюся к 0, и полагая поочередно придем к двум последовательностям точек для которых

По лемме Больцано - Вейерштрасса [41], без умаления общности, можно предположить, что при этом

(этого легко добиться, переходя - в случае надобности - к частичным последовательностям). Очевидно,

так что . В то же время для соответствующих точек М и М имеем т. е. эти точки должны совпасть, что невозможно, так как кривая не имеет кратных точек и не замкнута. Полученное противоречие завершает доказательство.

Для замкнутой кривой утверждение леммы оказывается неверным: хорда может быть сколь угодно малой и при достаточной близости к Т.