255. Свойства эволют и эвольвент.

Мы имели параметрическое представление эволюты в виде

считая , а функциями от параметра. Предположим теперь существование (непрерывных) третьих производных от х и у по параметру; тогда выражение (8) можно продифференцировать:

Принимая во внимание, что

окончательно получим

Ограничимся теперь рассмотрением такого участка кривой, на котором не обращается ни в нуль, ни в бесконечность и, кроме того, не обращается в нуль. Этим исключена возможность особых точек как на данной кривой, так и на ее эволюте. Так как то радиус кривизны изменяется монотонно: либо возрастает, либо убывает.

Деля одну на другую формулы (11), найдем:

так что угловые коэффициенты касательных к эволюте и к эвольвенте обратны по величине и по знаку, а сами касательные - взаимно перпендикулярны. Итак:

1° Нормаль к эвольвенте служит центре кривизны) касательной к эволюте.

Возьмем семейство нормалей к эвольвенте; оно зависит от одного параметра (например, от того, которым определяется положение точки на данной кривой). Из доказанного ясно, что эволюта является огибающей для этого семейства нормалей.

Для упражнения предлагаем читателя убедиться в этом же другим путем: исходя из уравнения нормалей

(где параметр t содержится в методами п° 238 найти огибающую и установить ее совпадение с эволютой (10). Можно доказать также, что центр кривизны есть характеристическая точка на нормали,

т. е. предельное положение точки пересечения данной нормали с бесконечно близкой к ней.

Перейдем теперь к рассмотрению дуги а на эволюте. Возводя равенства (11) в квадрат и складывая, найдем - с учетом формулы (11) 248 для дифференциала дуги -

откуда

или

Так как это отношение есть непрерывная функция от параметра, которая не может перескакивать от значения -1 к значению (не проходя промежуточных значений), то она на всем участке равна одному из этих чисел. Иными словами, в правой части равенства (12) на всем участке фигурирует один и тот же знак, плюс или минус.

Знак этот зависит от выбора направления для отсчета дуг на эволюте. Если выбрать его так, чтобы дуга а возрастала вместе с радиусом кривизны R, то в формуле (12) нужно взять плюс; если же дуга а возрастает в том направлении, которому отвечает убывание R, то будет минус.

Сделаем первое из этих допущений; тогда

и мы получаем, что

2° радиус кривизны разнится от дуги эволюты на величину постоянную.

Таким образом, разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна дуге эволюты между соответствующими центрами кривизны. Отсюда, между прочим, вытекает любопытный способ спрямления дуги на эволюте.

Доказанное свойство эволюты допускает изящное механическое истолкование. Для того, чтобы облегчить его изложение, допустим, что радиус кривизны R, который (не обращаясь в 0) сохраняет на всем рассматриваемом участке один и тот же знак, будет везде положительным; этого можно добиться выбором надлежащего направления для отсчета дуг на эвольвенте. Далее, отсчитывая дугу на эвольвенте от той точки Р, которой отвечает наименьший радиус кривизны, будем иметь и . В этих условиях и постоянная с, фигурирующая в равенстве (13), также положительна.

Представим себе теперь, что на эволюту навернута гибкая нерастяжимая нить, от конца (рис. 163) к началу Р; она сходит с эволюты в начальной точке Р по касательной и обрывается на расстоянии с от Р в соответствующей точке А эвольвенты. Станем нить развертывать, сматывая с эволюты, но сохраняя ее в натянутом состоянии. Пусть будет произвольное ее положение; так как больше как раз на длину дуги то и есть радиус кривизны R, т. е. точка М лежит на эвольвенте.

Рис. 163.

Итак: эвольвента может быть описана путем разворачивания нити, предварительно навернутой на эволюту. Иначе можно сказать, что эвольвента есть траектория точки А прямой описываемая ею, когда прямая катится по эволюте без скольжения.

В заключение, выведем еще формулу для радиуса кривизны эволюты. Обозначив через угол, составленный касательной к эволюте с осью х, имеем, очевидно:

Поэтому [см. (13) и (14)]

Нужно помнить, что эта формула предполагает, что а растет вместе с в противном случае следовало бы в правой части поставить минус.

Если же считать, что о растет вместе с то формулу можно написать в виде

объединяя, таким образом, случай возрастает вместе с и случай (R убывает с возрастанием s).