8. Вспомогательные предложения.
Установим теперь свойство плотности области всех вещественных чисел (ср. 
точнее, мы докажем следующее утверждение:
Лемма 1. Каковы бы ни были два вещественных числа а и причем всегда найдется рациональное число 
заключенное между ними 
(а следовательно - бесчисленное множество таких рациональных чисел).
Так как 
то нижний класс А сечения, определяющего число а, целиком содержит в себе нижний класс В для числа 
не совпадая с В. Поэтому в А найдется такое рациональное число 
которое не содержится в В и, следовательно, принадлежит В; для него
(равенство могло бы иметь место, лишь если 
рационально). Но так как в А нет наибольшего числа, то, в случае надобности, увеличив 
можно исключить равенство.
Замечание. Установив, что между вещественными числами а и 
(если 
необходимо содержится рациональное (а не только вещественное) число, мы фактически доказали более сильное свойство области вещественных чисел, чем плотность. В дальнейшем нам придётся пользоваться этой усиленной плотностью.
Отсюда непосредственно получается
Лемма 2. Пусть даны два вещественных числа а и 
. Если, какое бы ни взять число 
числа а и 
могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами s и s:
разность которых меньше 
то числа 
необходимо равны.
Доказательство будем вести от противного. Пусть, например, 
По лемме 1, между а и 
можно вставить два рациональных числа 
Тогда для любых двух чисел s и 
между которыми содержатся а и 
будут, очевидно, выполняться неравенства
откуда
так что разность 
, вопреки условию леммы, не может быть сделана, например, меньшей числа 
Это противоречие доказывает лемму.
