11. Границы числовых множеств.

Мы используем основную теорему [10], чтобы здесь же установить некоторые понятия, играющие важную роль в современном анализе. (Они понадобятся нам уже при рассмотрении арифметических действий над вещественными числами.)

Представим себе произвольное бесконечное множество вещественных чисел; оно может быть задано любым образом. Такими

множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество всех правильных дробей, множество всех вещественных чисел между 0 и 1, множество корней уравнения

Любое из чисел множества обозначим через х, так что х есть типовое обозначение чисел множества; само же множество чисел х будем обозначать через

Если для рассматриваемого множества существует такое число М, что все то будем говорить, что наше множество ограничено сверху (числом М); само число М в этом случае есть верхняя граница множества Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом 1 или любым числом натуральный ряд сверху не ограничен.

Аналогично этому: если найдётся такое число что все то говорят, что множество ограничено снизу (числом а само число называют нижней границей множества Например, натуральный ряд ограничен снизу числом 1 или любым числом множество правильных дробей ограничено снизу числом О или любым числом

Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом как ограничено, так и неограничено снизу (сверху). Так, множество правильных дробей ограничено и сверху, и снизу, а натуральный ряд ограничен снизу, но не ограничен сверху.

Если множество сверху (снизу) не ограничено, то за его верхнюю (нижнюю) границу принимают «несобственное число» Относительно этих «несобственных» или «бесконечных» чисел мы считаем, что

каково бы ни было вещественное («конечное») число а.

Знаки читаются так: «плюс бесконечность» и «минус бесконечность».

Если множество ограничено сверху, т. е. имеет конечную верхнюю границу М, то одновременно оно имеет и бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое число очевидно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ особый интерес представляет наименьшая, которую мы будем называть точной верхней границей. Аналогично, если множество ограничено снизу, то наибольшую из всех нижних границ будем называть точной нижней границей. Так, для множества всех правильных дробей точными границами будут, соответственно, 0 и 1.

Является вопрос: всегда ли для ограниченного сверху (снизу) множества существует точная верхняя (нижняя) граница Действительно, так как верхних (нижних) границ в этом случае бесконечное множество, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется

наименьшее или наибольшее, то самое существование такого наименьшего (наибольшего) числа из всех верхних (нижних) границ рассматриваемого множества требует доказательства.

Теорема. Если множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет и точную верхнюю (нижнюю) границу.

Доказательство. Проведем рассуждение по отношению к верхней границе. Рассмотрим два случая:

1° Среди чисел х множества X найдется наибольшее х. Тогда все числа множества будут удовлетворять неравенству , т. е. х будет верхней границей для X. С другой стороны, х принадлежит X; следовательно, для любой верхней границы М выполняется неравенство Отсюда заключаем, что х есть точная верхняя граница множества X.

2° Среди чисел х множества нет наибольшего. Произведём сечение в области всех вещественных чисел следующим образом. К верхнему классу А отнесём все верхние границы а множества Х,а к нижнему классу А - все остальные вещественные числа а. При этом разбиении все числа х множества X попадут в класс А, ибо ни одно из них - по допущению - не будет наибольшим. Таким образом, оба класса А, А непусты. Это разбиение действительно является сечением, так как все вещественные числа распределены по классам и каждое число из класса А больше любого числа из класса А. По основной теореме Дедекинда [10], должно существовать вещественное число производящее сечение. Все числа х, как принадлежащие классу А, не превосходят этого «пограничного» числа служит верхней границей для х, следовательно, само принадлежит классу А и является там наименьшим. Таким образом, как наименьшая из всех верхних границ и есть искомая точная верхняя граница множества

Совершенно так же доказывается и вторая половина теоремы (относящаяся к существованию точной нижней границы).

Если М есть точная верхняя граница числового множества то для всех х будет

Возьмем теперь произвольное число а, меньшее М. Так как М - наименьшая из верхних границ, то число а наверное не будет верхней границей для множества X, т. е. найдется такое число х из X, что

Этими двумя неравенствами вполне характеризуется точная верхняя граница множества X.

Аналогично, точная нижняя граница множества X характеризуется тем, что для всех х из X

и, каково бы ни было число большее найдется число из X такое, что

Для обозначения точной верхней границы М и точной нижней границы множества чисел X употребляют символы

(по-латыни: supremum - наивысшее, infimum - наинизшее).

Отметим одно очевидное умозаключение, которое часто будет встречаться в дальнейшем:

если все числа х некоторого множества удовлетворяют неравенству то и

Действительно, число М оказывается одной из верхних границ множества, а потому наименьшая из всех верхних границ его не превосходит.

Аналогично, из неравенства следует, что и .

Условимся, наконец, если множество не ограничено сверху, говорить, что его точная верхняя граница есть Аналогично, если множество не ограничено снизу, то говорят, что его точная нижняя граница есть