149. Примеры.

3) Вернемся к функции

для которой мы уже искали экстремумы в 136, 1). Эта функция сохраняет непрерывность при . При не только у, но — стремится к так что асимптот нет.

Рассмотрим дополнительно вторую производную

Она обращается в 0 при , меняя при этом знак (перегиб). Составляем таблицу:

График мы уже имели на рис. 57.

1) Пусть

[см. 136, 3)]. Функция сохраняет непрерывность в промежутке Представив ее в виде

легко установить, что при так что график нашей функции имеет асимптотой ось х (и направо и налево). Вторая производная у" не имеет корней; перегибы будут лишь в точках, где производная у обращается в бесконечность. Ввиду четности функции - симметрия относительно оси у.

Таблица:

График - на рис. 59.

Непрерывна в При очевидно, : горизонтальная асимптота. Вторая производная

обращается в нуль при , меняя знак (перегиб). Таблица:

График на рис. 61. Небольшой масштаб здесь мешает отчетливости чертежа, особенно в промежутке изменения х от 2 до 5; эта часть графика представлена в увеличенном масштабе.

Дадим теперь ряд новых примеров.

Функция обращается в бесконечность при Так как при имеем

то кривая имеет асимптоту:

Вычислим производные:

Первая обращается в нуль при (перегиб) и при (максимум); других точек перегиба нет.

По таблице: строим график, с учетом асимптоты (рис. 79).

По этой формуле функция получает вещественные значения, лишь если или при функция обращается в бесконечность.

Считая имеем при

так что, со стороны положительных х, кривая приближается к асимптоте Аналогично получается со стороны отрицательных другая асимптота

Рис. 79.

Производная

обращается в нуль при , меняя знак минус на плюс (минимум). Она обращается в нуль и при но это - конец промежутка в котором мы Функцию рассматриваем, и об экстремуме здесь не может быть и речи.

Вторая производная:

она и при и при так что кривая всегда выпукла (вниз). Вычислив еще ординату , отвечающую мы имеем уже достаточно данных для построения графика (рис. 80).

Рис. 80.

Рис. 81.

Переменная х может изменяться лишь в промежутке (0, в]; при функшя обращается в бесконечность.

Производная

всегда отрицательна, так что функция убывает. При производная Вторая производная

обращается в нуль, меняя знак, лишь при (перегиб); при этом, очевидно, График представлен на рис. 81.