не достигается в названном промежутке. Так будет обстоять дело, например, с функцией
(график ее представлен на рис. 33). При изменении х в любом промежутке 
точной верхней границей значений функции будет 1, но она не достигается, так что наибольшего значения функция не имеет.
Рис. 33.
Читателю, вероятно, ясна связь этого обстоятельства с наличием у рассматриваемой функции разрывов при натуральных значениях х. Действительно, для непрерывных в замкнутом промежутке функций имеет место: Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция 
определена и непрерывна в замкнутом промежутке 
то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ.
Иными словами, в промежутке 
найдутся такие точки 
что значения 
будут, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех значений функции 
I-е доказательство. Положим
по предыдущей теореме, это число - конечное. Предположим (вопреки тому, что нужно доказать), что всегда 
т. е. что граница М не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию
Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается, то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей теореме) ограничена: 
Но отсюда легко получить, что тогда
т. е. число меньшее, чем М, оказывается верхней границей для множества значений функции 
чего быть не может, ибо М есть точная верхняя граница этого множества. Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке 
найдётся такое значение 
что 
будет наибольшим из всех значений 
Аналогично может быть доказано утверждение и относительно наименьшего значения.
II-е доказательство. Можно и здесь исходить из леммы Больцано-Вейерштрасса [41]. Ограничимся утверждением о наибольшем значении. Если, как и только что,
то по свойству точной верхней границы 
для любого 
найдется такое 
что
Тогда из последовательности 
может быть извлечена частичная последовательность 
сходящаяся к некоторому значению 
из 
так что, ввиду непрерывности функции, и
В то же время из (5) имеем
Но 
не может быть больше верхней границы М множества значений функции и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Отметим, что оба приведенные доказательства суть чистые «доказательства существования». Средств для вычисления, например, значения 
никаких не дано. Впоследствии [в главе IV, § 1], правда, при более тяжелых предположениях относительно функции, мы научимся фактически находить значения независимой переменной, доставляющие функции наибольшее или наименьшее значения.
Если функция 
при изменении х в каком-либо промежутке X, ограничена, то ее колебанием в этом промежутке называется разность
Иначе можно определить колебание со как точную верхнюю границу множества всевозможных разностей 
где 
принимают независимо одно от другого произвольные значения в промежутке X:
Когда речь идет о непрерывной функции 
в замкнутом конечном промежутке 
то, как следует из доказанной теоремы, колебанием будет попросту разность между
наибольшим и наименьшим значениями функции в этом промежутке.
В этом случае промежуток значений функции есть замкнутый промежуток 
, и колебание дает его длину.
определена и даже ограничена в некотором промежутке изменения х, то в составе множества ее значений 
может не оказаться наибольшего (наименьшего). В этом случае точная верхняя (нижняя) граница значений функции 
