§ 6. Интерполирование

128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа.

Представим себе, что для некоторой функции определенной в промежутке вычислены ее значений в точках промежутка:

и требуется по этим значениям вычислить значение при каком-либо новом значении х.

В этом и состоит простейшая задача интерполирования. Конечно, в такой постановке вопроса содержится много неопределенного. Обычно задачу понимают так: ищется целый многочлен наинизшей степени, который в заданных точках называемых узлами интерполирования, принимает те же значения что и функция и приближенно полагают для любого х из

Подобное приближенное равенство называется интерполяционной формулой. Итак, надлежит прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем - при определенных предположениях относительно функции - оценить погрешность приближенной формулы (2). Для разыскания многочлена удовлетворяющего условиям

удобно ввести многочлены степени

которые, соответственно значку, принимают значение 1 при и обращаются в 0 при если Теперь ясно, что многочлен

удовлетворяет всем условиям (3), Степень этого многочлена не выше

и стало быть условиями (3) он определяется однозначно, его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближенное равенство (2) - интерполяционной формулой Лагранжа.

Заметим, что многочлен можно написать более сжато, если ввести выражение

обращающееся в 0 как раз в узлах интерполирования хт. Именно, очевидно,

а

Таким образом,