199. Условия отсутствия экстремума.

Квадратичная форма (9) называется неопределенной, если она способна принимать значения противоположных знаков. Такова, например, форма

Действительно, например, ее значение равно при при

Теперь мы можем дополнить доказанное в предыдущем п° предложение следующим образом:

Если квадратичная форма (10) будет неопределенной, то в испытуемой точке заведомо нет экстремума.

Пусть при форма (10) принимает положительное значение:

а при отрицательное:

Положим сначала

что отвечает передвижению вдоль по прямой, соединяющей точки Тогда, вынося в (8) за скобки получаем для этого случая

Первая сумма в скобках есть определенное положительное число, ввиду (13). Что же касается второй суммы, то ее коэффициенты стремятся к 0 при ибо при этом, очевидно, и все Значит, при достаточно малом t, выражение в фигурных скобках (а с ним и вся разность А) становится положительным, т. е. в точках упомянутой выше прямой, достаточно близких к будет

С другой же стороны, если взять

т. е. передвигаться вдоль другой прямой, соединяющей точку с точкой то в ее точках, достаточно близких к (т. е. отвечающих достаточно малому окажется

Этим доказано, что в испытуемой точке не может быть ни максимума, ни минимума.

Может случиться, что форма (9), не будучи способна принимать значения разных знаков, все же не является определенной, ибо обращается в 0 не только при нулевых значениях аргументов: в этом случае форму называют полуопределенной. Это относится, например, к форме:

отрицательных значений она не принимает, но в 0 обращается всякий раз, когда

скажем, при

Случай, когда форма (10) оказывается полуопределенной, есть «сомнительный» случай. В зависимости от поведения высших производных, в этом случае может быть экстремум, может его и не быть. В частности, высшие производные должны быть привлечены и тогда, когда все производные второго порядка в испытуемой точке обращаются в 0.

Исследованием «сомнительного» случая мы заниматься не будем.

Замечание. Для функции одной переменной форма (10) сводится к одному члену

где - испытуемая точка. Эта «форма», очевидно, является определенной - положительной и отрицательной при Таким образом, признак п° 137 есть частный случай изложенного в 198.

Переходя к случаю функции двух переменных, заметим, что и результат п° 197 также содержится в том, что было установлено в 198 и 199. Легко усмотреть, что попутно в 197 было доказано, что форма

в случае, если будет определенной (положительной при и отрицательной при в случае же, если неопределенной.