102. Дальнейшие примеры особых случаев.

1° Примеры несуществования производной. Уже функция в точке не имеет обычной, двусторонней, производной. Но интереснее пример функции

непрерывной и при , но не имеющей в этой точке даже односторонних производных. Действительно, отношение

не стремится ни к какому пределу при .

По графику этой функции (рис. 24) легко усмотреть, что секущая исходящая из начальной точки О, не имеет предельного положения при стремлении М, к О, так что касательной к кривой в начальной точке нет (даже односторонней).

Впоследствии (во втором томе) мы познакомимся с замечательным примером функции, непрерывной при всех значениях аргумента, но ни при одном из них не имеющей производной.

2° Примеры разрывов производной. Если для данной функции существует конечная производная в каждой точке некоторого промежутка то эта производная, в свою очередь, представляет собой в функцию от х. В многочисленных примерах, которые нам до сих пор встречались, эта функция сама оказывалась непрерывной. Однако, это может быть и не так. Рассмотрим, например, функцию

Если то ее производная вычисляется обычными методами:

но полученный результат неприложим при Обращаясь в этом случае непосредственно к самому определению понятия производной, будем иметь

Вместе с тем ясно, что при не стремится ни к какому пределу, так что при функция имеет разрыв.

То же справедливо и для любой функции

если только

В этих примерах разрывы производной оказываются второго рода. Это - не случайность: ниже [113] мы увидим, что разрывов первого рода, т. е. скачков, производная иметь не может.