§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков

189. Производные высших порядков.

Если функция имеет в некоторой (открытой) области частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от х, у, z, может в свою очередь в некоторой точке иметь частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

Если первая производная была взята, например, по х, то ее производные по х, у, z обозначаются так:

или

Аналогичным образом определяются производные 3-го, 4-го и т. д. порядков (третьи, четвертые, ... производные). Общее определение частной производной порядка может быть дано индуктивно.

Заметим, что частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, например,

называется смешанной частной производной.

Примеры. 1) Пусть ; тогда:

2) Мы имели уже [177] частные производные для функции :

вычислим теперь дальнейшие производные:

3) Для функции имеем последовательно:

аналогичные выражения получим и для Сложив их, убедимся, что функция и удовлетворяет уравнению

4) Пусть , где - две произвольные функции, имеющие первую и вторую производные. Показать, что у удовлетворяет уравнению каковы бы ни были функции .

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции находим

5) Доказать, что выражение

где означают произвольные функции (имеющие первую и вторую производные), удовлетворяет уравнению

Имеем:

умножая последние три производные, соответственно, на и складывая, действительно получаем 0.