253. Координаты центра кривизны.

Выведем теперь формулы для координат центра кривизны. Будем обозначать координаты рассматриваемой точки М кривой через х и у, а координаты отвечающего ей центра кривизны С - через

Радиус кривизны (рис. 158) лежит на оси - именно на направленной нормали, которая с осью х составляет угол

Проектируя отрезок поочередно на ось х и на ось у, по основной теореме теории проекций, будем иметь

Отсюда для координат центра кривизны получаем:

Используя выведенные нами раньше формулы [251 (6); 249 (15)]

только что полученные выражения можно переписать в виде:

Если кривая задана параметрическими уравнениями (1), то, вспомнив выражение (4) для легко преобразовать формулы (9) следующим образом:

Как видим, здесь выражены в функции от того же параметра что и х, у.

В случае кривой, заданной явным уравнением , формулы (10) принимают частный вид:

Формулы (10) можно применить и в том случае, если кривая задана полярным уравнением выбирая, как обычно, за параметр угол .

Если сопоставить только что полученные формулы (10а) с формулами для пограничной точки на нормали, найденными при решении задачи п° 137 (рис. 62), то убедимся в том, что упомянутая пограничная точка совпадает с центром кривизны.

Еще более важный результат получится, если сопоставить формулы (10а) и (7а) с формулами (22) и (23) п° 243: круг кривизны кривой в данной точке есть не что иное, как соприкасающийся круг. Иными словами [244], круг кривизны представляет собой предельное положение круга, проходящего через три точки кривой, которые стремятся к совпадению с данной.

Этот результат, конечно, можно было предвидеть: в случае касания второго порядка между данной кривой и окружностью, ордината у и две ее производные имеют в данной точке одни и те же значения для обеих кривых, так что для них совпадают в этой точке направления выпуклости и величины кривизны, зависящие только от упомянутых производных.