124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано.

Обратимся теперь к рассмотрению произвольной функции вообще не являющейся целым многочленом. Предположим, что для нее в некоторой точке существуют производные всех порядков до включительно. Это значит, точнее говоря, что функция определена и имеет производные всех порядков до включительно:

в некотором промежутке содержащем точку и, кроме того, имеет производную порядка в самой точке Тогда, по образцу (5), и для функции может быть составлен многочлен

Согласно предшествующему замечанию, этот многочлен и его производные (до включительно) в точке имеют те же значения, что и функция и ее производные.

Но на этот раз, если только не есть целый многочлен степени, уже нельзя утверждать равенства Многочлен дает лишь некоторое приближение функции Поэтому особый интерес приобретает изучение разности

Установим, прежде всего, что при эта разность представляет собой бесконечно малую порядка выше (по сравнению с

По свойству многочлена для функции очевидно, будут иметь место равенства

Мы сейчас установим общее утверждение: если для какой-либо функции имеющей в точке производные до порядка включительно, выполняются условия (9), то имеет место соотношение (8).

Доказательство проведем по методу математической индукции. При это утверждение имеет вид: если функция имеющая

в точке производную (первого порядка), удовлетворяет условиям

то

Его справедливость проверяется непосредственно:

Предположим теперь, что сформулированное выше утверждение справедливо для какого-либо и докажем, что оно остается верным и при замене на , т. е. что: если для какой-либо функции имеющей в точке производные до порядка включительно, выполняются условия

то

Из (9 усматриваем, что функция удовлетворяет условиям типа (9), а значит для нее по предположенному уже имеем:

Но, по формуле конечных приращений [112],

где с содержится между так как то

И мы окончательно приходим к (8, что и требовалось доказать.

Таким образом, наше утверждение оправдано для любого натурального и для разности (7) действительно выполняется соотношение (8). Принимая во внимание (6), мы получаем формулу

которая от формулы (5) для многочлена разнится наличием дополнительного члена (8). В указанной форме дополнительный член был дан Пеано (G. Реапо). Формула (10) и называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.

Доказанная формула является естественным обобщением формулы (3) п° 96, которую можно написать так:

она отвечает Там функция с точностью до бесконечно малой порядка выше первого, представлялась в виде линейной функции, здесь же мы представляем ее целым многочленом степени, но уже с точностью до бесконечно малой порядка выше

Легко показать, что такое представление функции единственно, т. е. что, если имеем одновременно вблизи

и

то необходимо

Действительно, из тождества

при сразу получаем Уничтожив эти члены и деля их на получим:

откуда, аналогично,

Иногда удобно формулу (10) применять в другой форме. Дополнительный член можно представить так:

где а зависит от х и стремится к 0 вместе с Подставляя это выражение, получим

Далее, перенося в формуле налево и полагая можно переписать ее в виде

В этой форме она еще ближе к формуле (3) п° 96:

Последняя выделяет лишь один главный член из бесконечно малого приращения функции - считая, как всегда, за основную бесконечно малую, в то время как в формуле (106) выписаны члены всех порядков до включительно, причем все они являются простейшими бесконечно малыми в смысле п° 63.

С точностью до дополнительного члена, таким образом, приращение функции разложено по степеням приращения независимой переменной.

Наконец, вспоминая, что

мы можем переписать (106) в такой форме:

Отсюда видим, что (при ) последовательные дифференциалы представляют собой, с точностью до факториалов в знаменателе, именно простейшие бесконечно малые члены соответственных порядков в разложении бесконечно малого приращения функции.