§ 5. Формула Тейлора
123. Формула Тейлора для многочлена.
Если 
есть целый многочлен степени 
то, последовательно дифференцируя его 
и полагая во всех этих формулах 
найдем выражения коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных при 
Подставим эти значения коэффициентов в (1):
Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов.
Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно было бы взять его разложение по степеням 
где 
есть некоторое постоянное частное значение х:
Полагая 
для коэффициентов многочлена
имеем, по доказанному, выражения:
Но
так что
и
т. е. коэффициенты разложения (3) оказались выраженными через значения самого многочлена и его производных при 
Подставим в (3) выражения (4):
Формула (5), так же как и ее частный (при 
случай (2), называется формулой Тейлора (В. Taylor) . Известно, какие важные применения она имеет в алгебре.
Сделаем (полезное для дальнейшего) очевидное замечание, что если многочлен 
представлен в виде
то необходимо
