251. Круг кривизны и радиус кривизны.

Во многих исследованиях представляется удобным приближенно заменить кривую вблизи рассматриваемой точки - окружностью, имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке.

Рис. 157.

Мы будем называть кругом кривизны кривой в данной на ней точке М - круг, который

1) касается кривой в точке М;

2) направлен выпуклостью вблизи этой точки в ту же сторону, что и кривая;

3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М (рис. 157).

Центр С круга кривизны называется просто центром кривизны, а радиус этого круга - радиусом кривизны (кривой в данной точке).

Из определения круга кривизны явствует, что центр кривизны всегда лежит на нормали - к кривой в рассматриваемой точке со стороны вогнутости (т. е. со стороны, обратной той, куда направлена выпуклость кривой). Если кривизну кривой в данной точке обозначить через к, то, вспоминая [250], что для окружности имели формулу:

теперь для радиуса кривизны, очевидно, будем иметь

Пользуясь различными выражениями, введенными в предыдущем п° для кривизны, мы можем сразу же написать ряд формул для

радиуса кривизны:

которые и применяются в соответственных случаях.

Из всех формул радиус кривизны получается со знаком, как и выше - кривизна. Однако здесь мы знака не станем отбрасывать, а постараемся установить его геометрический смысл.

С этой целью введем понятие о положительном направлении нормали к кривой. Мы разъяснили уже в 249, что на касательной положительным считается направление в сторону возрастания дуг. На нормали же мы за положительное выберем такое направление, чтобы оно относительно (положительно направленной) касательной было так же ориентировано, как ось у относительно оси х. Например, при обычном расположении этих осей нормаль должна составлять с касательной угол против часовой стрелки.

Теперь, рассматривая радиус кривизны как направленный отрезок, лежащий на нормали, естественно приписывать ему знак плюс, если он откладывается по нормали в положительном направлении, и знак минус в противном случае. Так, на рис. 158 в случае кривой радиус кривизны будет иметь знак плюс, а в случае кривой (II) знак минус.

Рис. 158.

Мы утверждаем, что знак радиуса кривизны, получаемый по любой из выведенных выше формул, в точности соответствует только что данному определению. При этом, однако, важно подчеркнуть, что во всех случаях положительное направление отсчета дуг предполагается соответствующим возрастанию параметра ( или ).

Убедиться в сказанном проще для случая явного задания кривой: здесь (рис. 158) касательная направлена направо, следовательно, нормаль - вверх. Если (как в рассматриваемой точке, так и - по непрерывности - вблизи нее), то кривая здесь выпукла вниз [143], и радиус кривизны положителен; таким он и получается по формуле (7а). Наоборот, при кривая выпукла вверх, радиус отрицателен, что и в этом случае вполне соответствует формуле (7а). То же можно показать и для других формул.