247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги.

Будем исходить из представления (1) кривой и направления на ней, определяемого возрастанием параметра Возьмем на кривой ряд точек

так, чтобы они шли в указанном направлении, отвечая возрастающим значениям параметра

Соединяя эти точки последовательно прямолинейными отрезками (рис. 149), мы получим ломаную вписанную в кривую . Напомним, что в предыдущем п° выяснена независимость понятия направления, а с ним и понятия вписанной ломаной - от частного выбора параметрического задания (1).

Рис. 149.

Длиной кривой называется точная верхняя граница S для множества периметров всевозможных вписанных в кривую ломаных:

Если это число S конечно, то кривая называется спрямляемой.

Из определения длины кривой следует, что периметр любой вписанной в кривую ломаной не превосходит длины S кривой: в частности, это относится и к длине хорды соединяющей начальную и конечную точки кривой.

Возьмем теперь на кривой точку С между А и В, так что она отвечает значению промежуточному между (0 и

Если кривая спрямляема, то спрямляемы порознь и дуги Обратно, из спрямляемости этих дуг вытекает спрямляемость всей кривой Обозначая длины дуг соответственно, через будем иметь при этом

Для доказательства, предположим сначала спрямляемость кривой и впишем произвольные ломаные, с периметрами

соответственно в дуги Из этих ломаных, взятых вместе, составится ломаная, с периметром

вписанная в кривую . Так как , т. е.

то, очевидно, и порознь

Таким образом, множества ограничены сверху (S - конечно!), и дуги спрямляемы, ибо имеют конечные длины

По свойству точных верхних границ [11] периметры - независимо один от другого - могут быть взяты сколь угодно близкими к своим границам Поэтому из (5) с помощью предельного перехода получаем:

Рис. 150.

Пусть теперь дано, что спрямляемы дуги и Впишем произвольную ломаную, с периметром р, в кривую Если точка С входит в состав вершин ломаной, то последняя непосредственно распадается на две ломаные, с периметрами вписанные, соответственно, в дуги Если же С не оказалась вершиной взятой ломаной, то мы дополнительно введем эту точку в состав вершин, от чего периметр ломаной может лишь увеличиться (рис. 150); новая ломаная, как указано, распадется на две. Во всяком случае, имеем

Множество ограничено сверху (S к конечны), и кривая спрямляема, причем ее длина

Наконец, из сопоставления этого неравенства с (6), приходим к требуемому равенству (4).

Таким образом, введенное выше понятие длины дуги кривой обладает свойством аддитивности [ср. 21, 3)].

Доказанное предложение легко распространяется на случай любого числа частичных дуг.