116. Общие формулы для производных любого порядка.

Итак, для того, чтобы вычислить производную от какой-либо функции, вообще говоря, нужно предварительно вычислить производные всех

водные всех предшествующих порядков. Однако в ряде случаев удаётся установить такое общее выражение для производной, которое зависит непосредственно от и не содержит более обозначений предшествующих производных.

При выводе таких общих выражений иногда бывают полезны формулы:

обобщающие на случай высших производных известные читателю правила I и II п° 97. Их легко получить последовательным применением этих правил.

1) Рассмотрим сначала степенную функцию где (а — любое вещественное число. Имеем последовательно:

Легко усмотреть отсюда и общий закон:

но, строго говоря, он ещё подлежит доказательству. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Допустив, что для некоторого значения эта формула верна, продифференцируем её ещё раз. Мы придем к результату:

так что наша формула оказывается верной для производной, если была верна для Отсюда и следует её справедливость при всех натуральных значениях

Если, например, взять то получим

а при

Когда само есть натуральное число то производная от будет уже постоянным числом , а все следующие —

нулями. Отсюда ясно, что и для целого многочлена степени имеет место аналогичное обстоятельство.

2) Для несколько более общего выражения

столь же легко найдем:

В частности, получается, как и выше,

3) Пусть теперь Прежде всего, имеем

Возьмём отсюда производную порядка по соответствующей формуле из 1), заменив в ней на мы и получим тогда

Общая формула

легко доказывается по методу математической индукции.

В частности, очевидно,

5) Положим тогда

На этом пути найти требуемое общее выражение для производной трудно. Но дело сразу упрощается, если переписать формулу для первой производной в виде становится ясным, что при каждом дифференцировании к аргументу будет прибавляться у, так что

Аналогично получается и формула

6) Рассмотрим функцию Представив её в виде

мы получаем возможность использовать пример 2) (и общие правила, указанные вначале). Окончательно,

7) В случае функции мы употребим более искусственный приём. Именно, имеем

если ввести вспомогательный угол , определяемый условиями

то выражение для первой производной можно переписать в виде:

Повторяя дифференцирование, легко установить общий закон

и обосновать его по методу математической индукции.

8) Остановимся ещё на функции Поставим себе сначала задачей выразить через у. Так как то

Дифференцируя вторично по х (и помня, что у есть функция от получим

Следующее дифференцирование дает

Общая формула:

оправдывается по методу математической индукции.

Если (при ) ввести угол

то эта формула может быть переписана так:

или, наконец,

9) Установим в заключение, в виде упражнения, формулу

Справедливость её при проверяется непосредственно. Допустим теперь, что она верна для всех значений вплоть до некоторого и докажем, что тогда она сохранит верность и при замене на . С этой целью рассмотрим выражение

Пользуясь нашим допущением, можно переписать это выражение так:

Итак, формула верна для всех натуральных значений а.