Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
116. Общие формулы для производных любого порядка.
Итак, для того, чтобы вычислить
производную от какой-либо функции, вообще говоря, нужно предварительно вычислить производные всех
водные всех предшествующих порядков. Однако в ряде случаев удаётся установить такое общее выражение для
производной, которое зависит непосредственно от
и не содержит более обозначений предшествующих производных.
При выводе таких общих выражений иногда бывают полезны формулы:
обобщающие на случай высших производных известные читателю правила I и II п° 97. Их легко получить последовательным применением этих правил.
1) Рассмотрим сначала степенную функцию
где (а — любое вещественное число. Имеем последовательно:
Легко усмотреть отсюда и общий закон:
но, строго говоря, он ещё подлежит доказательству. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Допустив, что для некоторого значения
эта формула верна, продифференцируем её ещё раз. Мы придем к результату:
так что наша формула оказывается верной для
производной, если была верна для
Отсюда и следует её справедливость при всех натуральных значениях
Если, например, взять
то получим
а при
Когда само
есть натуральное число
то
производная от
будет уже постоянным числом
, а все следующие —
нулями. Отсюда ясно, что и для целого многочлена степени
имеет место аналогичное обстоятельство.
2) Для несколько более общего выражения
столь же легко найдем:
В частности, получается, как и выше,
3) Пусть теперь
Прежде всего, имеем
Возьмём отсюда производную
порядка по соответствующей формуле из 1), заменив в ней
на
мы и получим тогда
Общая формула
легко доказывается по методу математической индукции.
В частности, очевидно,
5) Положим
тогда
На этом пути найти требуемое общее выражение для
производной трудно. Но дело сразу упрощается, если переписать формулу для первой производной в виде
становится ясным, что при каждом дифференцировании к аргументу будет прибавляться у, так что
Аналогично получается и формула
6) Рассмотрим функцию
Представив её в виде
мы получаем возможность использовать пример 2) (и общие правила, указанные вначале). Окончательно,
7) В случае функции
мы употребим более искусственный приём. Именно, имеем
если ввести вспомогательный угол
, определяемый условиями
то выражение для первой производной можно переписать в виде:
Повторяя дифференцирование, легко установить общий закон
и обосновать его по методу математической индукции.
8) Остановимся ещё на функции
Поставим себе сначала задачей выразить
через у. Так как
то
Дифференцируя вторично по х (и помня, что у есть функция от
получим
Следующее дифференцирование дает
Общая формула:
оправдывается по методу математической индукции.
Если (при
) ввести угол
то эта формула может быть переписана так:
или, наконец,
9) Установим в заключение, в виде упражнения, формулу
Справедливость её при
проверяется непосредственно. Допустим теперь, что она верна для всех значений
вплоть до некоторого
и докажем, что тогда она сохранит верность и при замене
на
. С этой целью рассмотрим выражение
Пользуясь нашим допущением, можно переписать это выражение так:
Итак, формула верна для всех натуральных значений а.