20. Логарифмы.

Пользуясь данным определением степени с любым вещественным показателем, теперь легко установить существование логарифма для любого положительного вещественного числа у при положительном основании отличном от 1 (мы будем, например, считать .

Если существует такое рациональное число что

то и есть искомый логарифм. Предположим же, что такого рационального числа нет.

Тогда можно произвести сечение в области всех рациональных чисел по следующему правилу. К классу В отнесем рациональные числа для которых а к классу В - рациональные числа для которых

Покажем, что классы - не пустые. В силу неравенства (2)

и достаточно взять

чтобы было такое натуральное число и относится к классу В. В то же время имеем:

и достаточно взять

чтобы было число - попало в класс В.

Остальные требования, предъявляемые к сечению, здесь также выполнены.

Построенное сечение определяет вещественное число которое является «пограничным» между числами обоих классов. По определению степени, имеем

причем есть единственное число, удовлетворяющее всем подобным неравенствам. Но для числа у имеем (по самому построению сечения)

Следовательно,

существование логарифма доказано.