107. Дифференциалы как источник приближенных формул.

Мы видели, что при дифференциал функции у (если только представляет собой главную часть бесконечно малого приращения функции Таким образом, так что

или подробнее

с точностью до бесконечно малой высшего порядка, чем Это значит [62], что относительная погрешность этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом

Рассмотрим простой пример: пусть . Тогда

и линейной частью (как мы это выше установили в общем виде), действительно, является дифференциал Положим конкретно если взять то будем иметь так что погрешность от замены первого числа вторым будет 0,070, а относительная погрешность превысит При получим что дает относительную погрешность, уже меньшую при - относительная погрешность меньше

Подобное же обстоятельство может быть и непосредственно усмотрено из рис. 44, дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно, что при уменьшении мы, действительно, все с большей относительной точностью можем заменять приращение ординаты кривой приращением ординаты касательной.

Выгода замены приращения функции ее дифференциалом состоит, как ясно читателю, в том, что зависит от линейно, в то время как представляет собою обыкновенно более сложную функцию от

Если положить то равенство (За) примет вид

или

По этой формуле, для значений х, близких к функция приближенно заменяется линейной функцией. Геометрически это соответствует замене участка кривой примыкающего к точке отрезком касательной к кривой в этой точке:

(ср. рис. 44). Взяв для простоты и ограничиваясь малыми значениями х, будем иметь приближенную формулу:

Отсюда, подставляя вместо различные элементарные функции, легко получить ряд формул:

(из которых многие нам уже известны).

Приведем примеры приближенных формул другого типа, также имеющих своим источником равенство (3).

1) Если длину тяжелой нити (провода, каната, ремня), подвешенной за оба конца, обозначить через пролет - через 21, а стрелу провеса - через (рис. 45), то для вычисления s часто пользуются (приближенной) формулой

Рис. 45.

Величину здесь будем считать независимой переменной, - функцией от . Требуется установить связь между изменением длины s и изменением стрелы провеса

Заменяя на получим

Если, например, учесть изменение длины провода от изменения температуры или нагрузки, то отсюда можно предусмотреть и изменение стрелы провеса.

2) Известно, что круговой ток (рис. 46) действует на единицу так называемого «магнитного заряда», помещенную на его оси на расстоянии от центра О, с силой

где к - постоянный коэффициент, а - радиус. Найти выражение для силы, с какой круговой ток будет действовать на магнит длины расположенный по оси тока. При этом будем считать, что в полюсе сосредоточен положительный «магнитный заряд» а в полюсе S - равный ему отрицательный «магнитный заряд» - т.

Рис. 46.

Общая сила действия тока на магнит выразится так:

Заменяя приращение функции (в предположении, что мало) ее дифференциалом, получим