234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности.

1° В случае пространственной кривой, определение касательной остается буквально то же, что и для плоской кривой [91]. Ограничимся здесь предположением, что кривая задана параметрически:

Возьмем определенное значение t и, тем самым, определенную точку на кривой; пусть это будет обыкновенная и простая точка [223]. Придадим t приращение тогда наращенному значению параметра будет отвечать другая точка Уравнения секущей будут иметь вид

где — текущие координаты. Геометрический смысл этих уравнений не изменится, если мы все знаменатели разделим на

Если эти уравнения в пределе, при сохраняют определенный смысл, то этим будет установлено существование предельного

положения секущей, т. е. касательной. Но в пределе мы получаем

и эти уравнения, действительно, выражают прямую, поскольку не все знаменатели - нули. Таким образом, в каждой обыкновенной точке кривой касательная существует и выражается этими уравнениями. Для особой точки вопрос о касательной остается открытым.

Замечание. Мы переходили к пределу в уравнениях секущей при покажем, что это равносильно предположению, что Ввиду непрерывности функций из следует, что и

Для доказательства обратного заключения зададимся произвольным числом Так как есть непрерывная функция от то при эта функция имеет наименьшее значение очевидно, положительное (так как взятая точка предположена простой, т. е. не получается ни при каком значении параметра, отличном от . В таком случае

Иногда уравнения (9) удобно писать в виде

который получается из (9) умножением всех знаменателей на

Если через обозначать утлы, составленные касательной с осями координат, то направляющие косинусы выразятся так:

Выбор определенного знака перед радикалом отвечает выбору определенного направления касательной.

Вопрос о касательной к кривой, заданной неявными уравнениями мы рассмотрим ниже, в 3°.

2° Пусть поверхность задана явным уравнением . Мы в 180 дали определение касательной плоскости и,

в предположении дифференцируемости функции нашли уравнение этой плоскости [180 (6)]:

Обыкновенно обозначают

и пишут уравнение касательной плоскости так:

Если суть направляющие косинусы нормали к поверхности (так называют перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания), то для них имеем выражения

двойной знак перед радикалом отвечает двум противоположным направлениям нормали.

Проведем теперь по поверхности через рассматриваемую точку произвольную кривую

так что тождественно относительно t будет

Дифференцируем это тождество по

Возьмем касательную к кривой в рассматриваемой неособой точке в форме (9). Если, наконец, в предыдущем равенстве заменить производные пропорциональными им, в силу (9), разностями то придем к (10). Таким образом, касательная (9) всеми точками лежит в касательной плоскости (10). Мы можем, следовательно, теперь определить касательную плоскость к поверхности в заданной на ней точке, как такую плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведенным по поверхности через эту точку.

Если поверхность задана неявным уравнением то, предполагая в рассматриваемой точке, в окрестности ее

можно выразить поверхность и явным уравнением так что существование касательной плоскости обеспечено. Так как в этом случае

то, подставляя эти значения в уравнение (10), легко преобразуем его к виду

Очевидно, в таком же виде представится уравнение касательной плоскости и в случае, если но какая-нибудь из двух других производных отлична от 0. Лишь в особой точке это уравнение теряет смысл (и вопрос о касательной плоскости остается открытым).

3° Теперь легко сообразить, как найти касательную к кривой, заданной двумя неявными уравнениями:

т. е. представляющей пересечение двух соответствующих поверхностей. Если рассматриваемая на кривой точка — обыкновенная, то в ее окрестности кривая может быть выражена и явными уравнениями [227], так что существование касательной обеспечено. Эта касательная, очевидно, лежит в пересечении касательных плоскостей к упомянутым двум поверхностям и, следовательно, выражается уравнениями

[Так как в обыкновенной точке для матрицы коэффициентов хоть один из определителей отличен от 0, то этими уравнениями, действительно, определится прямая.]

4° Возвращаясь к поверхности, перейдем, наконец, к случаю, когда она выражается параметрическими уравнениями:

Снова ограничиваемся обыкновенной (и простой) точкой; так как [228] в ее окрестности поверхность может быть выражена и явным уравнением, то существование касательной плоскости обеспечено. Уравнение ее может быть написано в виде

где коэффициенты А, В, С еще подлежат определению.

Если в уравнениях поверхности закрепить за значение, отвечающее выбранной точке, то получатся уравнения координатной линии

[«кривой ], проходящей через эту точку. Касательная к этой кривой в указанной точке выразится уравнениями [см. (9)]

Аналогично, фиксируя и, получим координатную линию другого семейства, проходящую через данную точку [«кривую ] и имеющую в ней касательную

Так как обе эти касательные должны лежать в касательной плоскости (14), то выполняются условия

В таком случае коэффициенты А, В, С должны быть пропорциональны определителям матрицы

Обыкновенно полагают их равными этим определителям:

Теперь уравнение касательной плоскости проще всего написать с помощью определителя:

в обыкновенной точке оно, действительно выражает плоскость. Направляющие косинусы нормали будут