185. Инвариантность формы (первого) дифференциала.

Пусть функция имеет непрерывные частные производные причем х, у, z, в свою очередь, являются функциями от новых переменных t и V.

также имеющими непрерывные же частные производные Тогда [181] не только существуют производные от сложной функции и по t но эти производные также непрерывны по t как это легко усмотреть из (8).

Если бы х, у и z были независимыми переменными, то, как мы знаем, (полный) дифференциал функции и был бы равен

В данном же случае и зависит - через посредство х, у, z - от переменных . Следовательно, по отношению к этим переменным, дифференциал напишется так:

Но, в силу (8),

и, аналогично,

Подставив эти значения в выражение для будем иметь:

Перегруппируем члены следующим образом:

Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, суть не что иное, как дифференциалы функций х, у, z (от и и так что мы можем написать:

Мы пришли к той же самой форме дифференциала, что и в случае, когда х, у, z были независимыми переменными (но смысл символов здесь, конечно, уже другой).

Итак, для функций нескольких переменных имеет место инвариантность формы (первого) дифференциала, как и для функций одной переменной

Может случиться, что х, у и z будут зависеть от различных переменных, например,

В таком случае мы всегда можем считать, что

и все предыдущие рассуждения будут применимы и к этому случаю.

Следствия. Для случая, когда х и у были функциями одной переменной, мы имели следующие формулы:

Эти формулы верны и в том случае, когда х и у являются функциями любого числа переменных, т. е. когда

Докажем, например, последнюю формулу.

Для этого примем сначала х и у за независимые переменные; тогда

Видим, что при этом предположении дифференциал имеет тот же вид, что и для функций одной переменной. На основании же инвариантности формы дифференциала можно утверждать, что эта формула справедлива и в том случае, когда являются функциями любого числа переменных.

Доказанное свойство полного дифференциала и следствия из него позволяют упрощать вычисление дифференциалов, например:

Так как коэффициентами при дифференциалах независимых переменных являются соответствующие частные производные, то отсюда сразу же получаются и значения этих последних. Например, для имеем непосредственно

а для и получим сразу