213. Достаточные для относительного экстремума условия.

По этому поводу мы ограничимся немногими замечаниями. Предположим существование и непрерывность вторых производных для функций . Пусть теперь точка совместно с множителями удовлетворяет установленным выше необходимым условиям.

Вопрос о наличии в этой точке (относительного) экстремума зависит, как и в 198, от знака разности

с той лишь существенной оговоркой, что и точка удовлетворяет уравнениям связи (1) или - что то же - (4). Легко понять, что для таких точек приращение функции может быть заменено приращением функции (где все множители А, мы считаем равными

Ввиду того, что в точке вьшолняются условия (11), - в этом-то и состоит выгода перехода к функции - это приращение, по формуле Тейлора, может быть записано так [ср. 198, (8)]:

где

если (остальные приращения при этом сами собой будут бесконечно малыми по непрерывности функций

Если заменить здесь все приращения соответствующими дифференциалами то по отношению к независимым переменным это вообще ничего не изменит; что же касается зависимых переменных, то произведенная замена вызовет лишь необходимость поставить вместо коэффициентов другие бесконечно малые

Переход к дифференциалам выгоден потому, что дифференциалы зависимых и независимых переменных связаны системой линейных соотношений (8). Так как определитель (3) в точке по предположению, - не нуль, то отсюда зависимые дифференциалы выразятся линейно через независимые. Подставив их выражения в А,

мы, вместо первой суммы, получим квадратичную форму относительно дифференциалов

А теперь, так же как и в 198 и 199, можно показать, что: если эта форма будет определенной и притом положительной (отрицательной), то в испытуемой точке будет относительный минимум (максимум): если же форма оказывается неопределенной, то относительного экстремума нет.

Впрочем, практическое значение этого критерия невелико (ср. замечание в 200).

Перейдем к примерам и задачам.