207. Дифференцируемость неявной функции.

Теперь мы усилим предположения относительно функции и тогда получим возможность установить и существование производной для функции

Теорема II. Предположим, что

1) функция определена и непрерывна в прямоугольнике

с центром в точке

2) частные производные существуют и непрерывны в

3) в точке обращается в нуль: наконец,

4) производная отлична от нуля.

Тогда выполняются заключения а), б), в) теоремы , кроме того, г) функция имеет непрерывную производную. Доказательство (рис. 113). Пусть, например, так как производная в силу 2), непрерывна, то можно построить такой квадрат:

чтобы для всех его точек было: Тогда для этого квадрата выполнены все условия теоремы I: монотонность функции по у, при вытекает именно из того, что

Рис. 113.

Следовательно, заключения а), б), в) можно считать оправданными.

Переходя к доказательству утверждения г), будем под у разуметь именно ту неявную функцию которая определяется уравнением (1) и тождественно ему удовлетворяет. Придадим х приращение наращенному значению будет соответствовать значение вместе с ним удовлетворяющее уравнению (1): Очевидно, и приращение

Представив по формуле (1) п° 178, получим

где зависят от и стремятся к нулю, когда одновременно стремятся к нулю. Отсюда

Устремим к нулю в силу установленной уже непрерывности функции [см. в)], при этом также стремится к нулю, а потому и Так как то существует предел правой части, а следовательно, существует и производная у по х:

Подставляя вместо у, будем иметь 7

так как в числителе и в знаменателе имеем непрерывные функции от непрерывных же функций, и знаменатель не обращается в нуль, то отсюда ясно, что - также непрерывная функция. Теорема доказана.

Замечательно, что по свойствам функции которая нам дана непосредственно, мы можем судить о свойствах функции для которой непосредственного задания мы не имеем.